區域賽系列一多邊形劃分

描述

Give you a convex（凸邊形）, diagonal n-3 disjoint divided into n-2 triangles(直線), for different number of methods, such as n=5, there are 5 kinds of partition method, as shown in Figure

輸入

The first line of the input is a n (1<=n<=1000), expressed n data set. The next n lines each behavior an integer m (3<=m<=18), namely the convex edges.

輸出

For each give m,, output how many classification methods. example output: Case #a : b

樣例輸入

3
3
4
5

樣例輸出

Case #1 : 1
Case #2 : 2
Case #3 : 5

卡特蘭數：

卡塔蘭數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。

卡塔蘭數的一般項公式為                       另類遞迴式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前幾項為 （OEIS中的數列A000108

令h(0)=1,h(1)＝1,catalan數滿足遞迴式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

 另類遞迴式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

最典型的四類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞迴等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞迴式了）
1.括號化問題。

　　矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
2.出棧次序問題。

　　一個棧(無窮大)的進棧序列為1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
　　類似：
　　(1)有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
　　(2)在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
3.將多邊行劃分為三角形問題。

　　將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
　　類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她
　　從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
　　類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4.給頂節點組成二叉樹的問題。

　　給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
　　(一定是二叉樹!
　　先去一個點作為頂點,然後左邊依次可以取0至N-1個相對應的,右邊是N-1到0個,兩兩配對相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) +  + h(n-1)h(0)=h(n))
　　（能構成h（N）個）

5，問題描述:
12個高矮不同的人，排成兩排，每排必須是從矮到高排列，而且第二排比對應的第一排的人高，問排列方式有多少種？

我們先把這12個人從低到高排列,然後,選擇6個人排在第一排,那麼剩下的6個肯定是在第二排.
用0表示對應的人在第一排,用1表示對應的人在第二排,那麼含有6個0,6個1的序列,就對應一種方案.
比如000000111111就對應著
第一排：0 1 2 3 4 5
第二排：6 7 8 9 10 11
010101010101就對應著
第一排：0 2 4 6 8 10
第二排：1 3 5 7 9 11
問題轉換為，這樣的滿足條件的01序列有多少個。
觀察1的出現，我們考慮這一個出現能不能放在第二排，顯然，在這個1之前出現的那些0,1對應的人
要麼是在這個1左邊，要麼是在這個1前面。而肯定要有一個0的，在這個1前面，統計在這個1之前的0和1的個數。
也就是要求，0的個數大於1的個數。
OK，問題已經解決。
如果把0看成入棧操作，1看成出棧操作，就是說給定6個元素，合法的入棧出棧序列有多少個。
這就是catalan數,這裡只是用於棧，等價地描述還有，二叉樹的列舉、多邊形分成三角形的個數、圓括弧插入公式中的方法數，其通項是c(2n, n)/(n+1)。

程式碼：

#include<stdio.h>
long long num[25];
int main()
{
    int t,step=1;
    scanf("%d",&t);
    num[0]=1,num[1]=1,num[2]=2;
    for(int i=3;i<=18;i++)
    {
        long long sum=0,j=1;
        while(j<=i)
        {
            sum+=num[i-j]*num[j-1];
            j++;
        }
        num[i]=sum;
    }
//    for(int i=1;i<=8;i++)
//    {
//        printf("%lld\n",num[i]);
//    }
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("Case #%d : %lld\n",step++,num[n-2]);
    }
    return 0;
}