動態規劃之硬幣面值組合問題
問題描述
假設我們有8種不同面值的硬幣{1,2,5,10,20,50,100,200},用這些硬幣組合夠成一個給定的數值n。例如n=200,那麼一種可能的組合方式為 200 = 3 * 1 + 1*2 + 1*5 + 2*20 + 1 * 50 + 1 * 100. 問總過有多少種可能的組合方式? (這道題目來自著名程式設計網站ProjectEuler, 點選這裡檢視原題目) 類似的題目還有:
[華為面試題] 1分2分5分的硬幣三種,組合成1角,共有多少種組合?
[創新工廠筆試題] 有1分,2分,5分,10分四種硬幣,每種硬幣數量無限,給定n分錢,有多少中組合可以組成n分錢?
問題分析
給定一個數值sum,假設我們有m種不同型別的硬幣{V1, V2, …, Vm},如果要組合成sum,那麼我們有
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + xm * Vm
求所有可能的組合數,就是求滿足前面等值的係數{x1, x2, …, xm}的所有可能個數。
[思路1] 當然我們可以採用暴力列舉,各個係數可能的取值無非是x1 = {0, 1, …, sum / V1}, x2 = {0, 1, …, sum/ V2}等等。這對於硬幣種類數較小的題目還是可以應付的,比如華為和創新工廠的題目,但是複雜度也很高O(sum/V1 * sum/V2 * sum/V3 * …)
[思路2] 從上面的分析中我們也可以這麼考慮,我們希望用m種硬幣構成sum,根據最後一個硬幣Vm的係數的取值為無非有這麼幾種情況,xm分別取{0, 1, 2, …, sum/Vm},換句話說,上面分析中的等式和下面的幾個等式的聯合是等價的。
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 0 * Vm
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 1 * Vm
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 2 * Vm
…
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + K * Vm
其中K是該xm能取的最大數值K = sum / Vm。可是這又有什麼用呢?不要急,我們先進行如下變數的定義:
dp[i][sum] = 用前i種硬幣構成sum 的所有組合數。
那麼題目的問題實際上就是求dp[m][sum],即用前m種硬幣(所有硬幣)構成sum的所有組合數。在上面的聯合等式中:當xn=0時,有多少種組合呢? 實際上就是前i-1種硬幣組合sum,有dp[i-1][sum]種! xn = 1 時呢,有多少種組合? 實際上是用前i-1種硬幣組合成(sum - Vm)的組合數,有dp[i-1][sum -Vm]種; xn =2呢, dp[i-1][sum - 2 * Vm]種,等等。所有的這些情況加起來就是我們的dp[i][sum]。所以:
dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]
dp[i-1][sum - 2*Vm] + … + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm
換一種更抽象的數學描述就是:
通過此公式,我們可以看到問題被一步步縮小,那麼初始情況是什麼呢?如果sum=0,那麼無論有前多少種來組合0,只有一種可能,就是各個係數都等於0;
dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, … , m
如果我們用二位陣列表示dp[i][sum], 我們發現第i行的值全部依賴與i-1行的值,所以我們可以逐行求解該陣列。如果前0種硬幣要組成sum,我們規定為dp[0][sum] = 0.