【並查集】poj 1182 食物鏈
阿新 • • 發佈:2019-02-19
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
//#define INPUT
/**
Problem:1182 - 食物鏈,NOI2001
Begin Time:4th/Mar/2012 1:00 p.m.
End Time:4th/Mar/2012 6:47 p.m.
Cost Time:兩天多,看的別人的解題報告AC的
Reference:http://apps.hi.baidu.com/share/detail/16059767
測試資料:
http://poj.org/showmessage?message_id=93058
輸出:
上方有
教訓:
WA一次,沒搞清楚先更新父節點relation還是更新當前節點relation的關係!!!
(在最後那條犯錯誤了!)
思路:
老子決心要寫一個,關於這道題的,最詳細的解題報告。
本題思路是帶權並查集,我們從最開始講起。
Part I - 權值(relation)的確定。
我們根據題意,森林中有3種動物。A吃B,B吃C,C吃A。
我們還要使用並查集,那麼,我們就以動物之間的關係來作為並查集每個節點的
權值。
注意,我們不知道所給的動物(題目說了,輸入只給編號)所屬的種類。
所以,我們可以用動物之間“相對”的關係來確定一個並查集。
0 - 這個節點與它的父節點是同類
1 - 這個節點被它的父節點吃
2 - 這個節點吃它的父節點。
注意,這個0,1,2所代表的意義不是隨便制定的,我們看題目中的要求。
說話的時候,第一個數字(下文中,設為d)指定了後面兩種動物的關係:
1 - X與Y同類
2 - X吃Y
我們注意到,當 d = 1的時候,( d - 1 ) = 0,也就是我們制定的意義
當 d = 2的時候,( d - 1 ) = 1,代表Y被X吃,也是我們指定的意義。
所以,這個0,1,2不是隨便選的
Part II - 路徑壓縮,以及節點間關係確定
確定了權值之後,我們要確定有關的操作。
我們把所有的動物全初始化。
struct Animal
{
int num; //該節點(node)的編號
int parent; //該node的父親
int relation; //該node與父節點的關係,0同類,1被父節點吃,2吃父節點
}; Animal ani[50010];
初始化為
For i = 0 to N do
ani[i].num = i;
ani[i].parent = i;
ani[i].relation = 0 ; //自己和自己是同類
End For
(1)路徑壓縮時的節點演算法
我們設A,B,C動物集合如下:(為了以後便於舉例)
A = { 1 , 2 , 3 ,4 ,5 }
B = { 6 , 7 , 8 ,9 ,10}
C = { 11, 12, 13,14,15}
假如我們已經有了一個集合,分別有3個元素
SET1 = {1,2},我們規定集合中第一個元素為並查集的“代表”
假如現在有語句:
2 2 6
這是一句真話
2是6的父親
ani[6].parent = 2;
ani[6].relation = 1;
那麼,6和1的關係如何呢?
ani[2].parent = 1;
ani[2].relation = 0;
我們可以發現6與2的關係是 1.
通過窮舉我們可以發現
ani[now].parent = ani[ani[now].parent].parent;
ani[now].relation = ( ani[now].relation + ani[now.parent].relation ) % 3;
這個路徑壓縮演算法是正確的
關於這個路徑壓縮演算法,還有一點需要注意的地方,我們一會再談
注意,根據當前節點的relation和當前節點父節點的relation推出
當前節點與其父節點的父節點的relation這個公式十分重要!!
它推不出來下面都理解不了!!自己用窮舉法推一下:
好吧,為了方便伸手黨,我給出窮舉過程
i j
爺爺 父親 兒子 兒子與爺爺
0 0 (i + j)%3 = 0
0 1 (i + j)%3 = 1
0 2 (i + j)%3 = 2
1 0 (i + j)%3 = 1
1 1 (i + j)%3 = 2
1 2 (i + j)%3 = 0
2 0 (i + j)%3 = 2
2 1 (i + j)%3 = 0
2 2 (i + j)%3 = 1
嗯,這樣可以看到,( 兒子relation + 父親relation ) % 3 = 兒子對爺爺的relation
這就是路徑壓縮的節點演算法
(2) 集合間關係的確定
在初始化的時候,我們看到,每個集合都是一個元素,就是他本身。
這時候,每個集合都是自洽的(集合中每個元素都不違反題目的規定)
注意,我們使用並查集的目的就是儘量的把路徑壓縮,使之高度儘量矮
假設我們已經有一個集合
set1 = {1,2,7,10}
set2 = {11,4,8,13},每個編號所屬的物種見上文
set3 = {12,5,4,9}
現在有一句話
2 13 2
這是一句真話,X = 13,Y = 2
我們要把這兩個集合合併成一個集合。
直接
int a = findParent(ani[X]);
int b = findParent(ani[Y]);
ani[b].parent = a;
就是把Y所在集合的根節點的父親設定成X所在集合的根節點。
但是,但是!!!!
Y所在集合的根結點與X所在集合的根節點的關係!!!要怎麼確定呢?
我們設X,Y集合都是路徑壓縮過的,高度只有2層
我們先給出計算的公式
ani[b].relation = ( 3 - ani[Y].relation + ( d - 1 ) + ani[X].relation) % 3;
這個公式,是分三部分,這麼推出來的
第一部分,好理解的一部分:
( d - 1 ) :這是X和Y之間的relation,X是Y的父節點時,Y的relation就是這個
3 - ani[Y].relation = 根據Y與根節點的關係,逆推根節點與Y的關係
這部分也是窮舉法推出來的,我們舉例:
j
子 父相對於子的relation(即假如子是父的父節點,那麼父的relation應該是什麼,因為父現在是根節點,所以父.relation = 0,我們只能根據父的子節點反推子跟父節點的關係)
0 ( 3 - 0 ) % 3 = 0
1(父吃子) ( 3 - 1 ) % 3 = 2 //父吃子
2(子吃父) ( 3 - 2 ) % 3 = 1 //子吃父,一樣的哦親
——————————————————————————————————————————————————————
我們的過程是這樣的:
把ani[Y],先連線到ani[X]上,再把ani[Y]的根節點移動到ani[X]上,最後,把ani[Y]的根節點移動到ani[X]的根節點上,這樣算relation的
還記得麼,如果我們有一個集合,壓縮路徑的時候父子關係是這麼確定的
ani[爺爺].relation = ( ani[父親].relation + ani[兒子].relation ) % 3
我們已知道,( d - 1 )就是X與Y的relation了
而 (3 - ani[Y].relation)就是 以Y為根節點時,他的父親的relation
那麼
我們假設把Y接到X上,也就說,現在X是Y的父親,Y原來的根節點現在是Y的兒子
Y的relation + ani[Y]根節點相對於ani[Y]的relation
( ( d - 1 ) + ( 3 - ani[Y].relation) ) % 3
就是ani[Y]的父親節點與ani[X]的relation了!
那麼,不難得到,ani[Y]的根節點與ani[X]根節點的關係是:
( ( d - 1 ) + ( 3 - ani[Y].relation) + ani[X].relation ) % 3 ->應用了同餘定理
注意,這個當所有集合都是初始化狀態的時候也適用哦
還是以最開頭我們給的三個集合(分別代表三個物種)為例
2 1 6
帶入公式
ani[6].relation = ( ( 2 - 1 ) + ( 3 - 0 ) + 0 ) % 3 = 1
也就是,6被1吃
Part III - 演算法正確性的證明
首先,兩個自洽的集合,合併以後仍然是自洽的
這個不難想吧,數學上有個什麼對稱性定理跟他很像的。
如果理解不了,就這麼想!!
當set1和set2合併之後,set2的根節點得到了自己關於set1根節點的
正確relation值,變成了set1根節點的兒子,那麼
set2的所有兒子只要用
( ani[X].relation + ani[Y].relation ) % 3就能得到自己正確的relation值了
所以說,針對不在同一集合的兩個元素的話,除非違背了(2)和(3),否則永遠是真的
(無論這句話說的是什麼,我們都可以根據所給X,Y推出兩個子節點之間應有的關係,這個關係一確定,所有兒子的關係都可以確定)
其實所有的不同集合到最後都會被合併成一個集合的。
我們只要在一個集合中找那些假話就可以了。
首先,如何判斷
1 X Y是不是假話。//此時 d = 1
if ( X 和 Y 不在同一集合)
Union(x,y,xroot,yroot,d)
else
if x.relation != y.relation ->假話
其次,如何判斷
2 X Y是不是假話 //此時d = 2
if ( X 和 Y 不在同一集合)
Union(x,y,xroot,yroot,d)
else
(ani[y].relation + 3 - ani[x].relation ) % 3 != 1 ->假話
這個公式是這麼來的:
3 - ani[x].relation得到了根節點關於x的relation
ani[y] + 3 - ani[x].relation得到了y關於x的relation
所以,只要y關於x的relation不是1,就是y不被x吃的話,這句話肯定是假話!
(2)路徑壓縮要特別注意的一點(錯在這裡,要檢討自己)
路徑壓縮的時候,記得要
先findParent,再給當前節點的relation賦值。
否則有可能因為當前節點的父節點的relation不正確而導致錯的稀里嘩啦。
例子:
set1 = {1,2,7,10}
set2 = {3,4,8,11}
set3 = {12,5,14,9}
Union(1,3,1,3,1)
Union(3,12,3,12,2)
1 5 1
算5的relation
如果不先更新parent的relation,算出來應該是
( 3 - 0 + 0 + 1 ) % 3 = 1,5被1吃,顯然不對
這裡面,+ 0的那個0是指根節點 12 的relation(未更新,這裡的0是指12與11的relation)
如果更新完了的話,應該是
( 3 - 0 + 2 + 1 ) % 3 = 0 ,5與1是同一物種,對了
這裡面的 2 是更新節點12的relation(12與1的relation)
後記:
關於這道題,我在網上搜索了許多解題報告,但是都閃爍其詞,大概大家都不想
把自己辛辛苦苦推出來的公式寫到網上供別人學習來節省時間吧。
我覺得這麼做不好,對初學者容易產生不良影響,ACM如果只是一個小眾化的圈子,那
豈不是太沒意思了。
於是我就把我自己總結的這道題的經驗放了出來,希望可以幫得到大家
自己總結的,對錯也不知道,但是起碼是“自洽”的,^ ^
感謝那篇博文的博主,也感謝gzm,lqy兩位學長的指導。
c0de4fun
*/
using namespace std;
const int c0de4fun = 50010;//動物個數的最大值
///指明父節點與自己的關係,0同類,1被吃,2吃父
const int SAME = 0;
const int ENEMY = 1;
const int FOOD = 2;
struct Animal
{
int parent;
int num;
int relation;
};
Animal ani[c0de4fun];
long ans;
int findParent(Animal* node)
{
///Wrong Answer 因為這個函式寫錯了
///這個函式得是“自洽的”
///就是說,得保證每個元素的父親的relation是對的
///再算自己的relation
///因為自己的relation和父親的relation有關
///這就是為什麼要先findParent再relation更新的原因
int tmp;
if ( node->parent == node->num )
{
return node->parent;
}
tmp = node->parent;
#ifdef DBG
printf("Animal %d s Parent is %d\n", node->num, node->parent);
#endif
// node->relation = ( ani[node->parent].relation + node->relation ) % 3;
node->parent = findParent(&ani[node->parent]);
node->relation = ( ani[tmp].relation + node->relation ) % 3;
return node->parent;
}
void Union(int x, int y, int a, int b, int d)
{
ani[b].parent = a;
///rootY.parent = rootX.parent;
ani[b].relation = ( (3 - ani[y].relation) + (d - 1) + ani[x].relation) % 3;
}
void init_Animal(int n)
{
for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
{
ani[i].num = i;
ani[i].parent = i;
ani[i].relation = SAME;
}
}
int main(int argc, char* argv[])
{
int N, K;
int d, X, Y;
#ifdef INPUT
freopen("b:\\acm\\poj1182\\input.txt", "r", stdin);
#endif
scanf("%d%d", &N, &K);
init_Animal(N);
for (int i = 0 ; i < K ; i++)
{
scanf("%d%d%d", &d, &X, &Y);
if ( X > N || Y > N)
{
ans++;
}
else
{
if (d == 2 && X == Y)
{
ans++;
}
else
{
int a = findParent(&ani[X]);
int b = findParent(&ani[Y]);
if ( a != b )
{
///x,y不在同一集合中
Union(X, Y, a, b, d);
}
else
{
switch (d)
{
case 1:
if (ani[X].relation != ani[Y].relation)
{
ans++;
}
break;
case 2:
if (((ani[Y].relation + 3 - ani[X].relation) % 3 ) != 1)
{
ans++;
}
break;
}
}
}
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}