數值分析中的QR分解及其程式碼實現

QR分解

若 $A \in C^{m \times k}$ 是一個列滿秩的矩陣，rank(A) = k，則矩陣A 可以分解為 $A = Q R$ ,

$Q \in C^{m \times k}$ ，Q 的列向量為A 的列空間的標準正交基， $R \in C^{k \times k}$ ，是一個可逆的上三角矩陣，

A 的列向量線性無關， $A = (α_{1}, α_{2}, . . . α_{k})$ ，將這k個列向量進行Schmidt正交化，得到A 的列向量空間的標準正交基，

正交化： $β_{1} = α_{1}$

$β_{2} = α_{2} - \frac{(α_{2}, β_{1})}{(β_{1}, β_{1})} β_{1}$

$β_{k} = α_{k} - \sum_{i = 1}^{k - 1} \frac{(α_{k}, β_{i})}{(β_{i}, β_{i})} β_{i}$

k=αk−∑i=1k−1(αk,βi)(βi,βi)βi

標準化： $ϵ_{i} = \frac{β_{i}}{‖ β_{i} ‖}$

把正交化方法和標準化方法結合在一起：
$β_{1} = α_{1}$ , $ϵ_{1} = \frac{β_{1}}{‖ β_{1} ‖}$

$β_{2} = α_{2} - (α_{2}, ϵ_{1})$ , $ϵ_{2} = \frac{β_{2}}{‖ β_{2} ‖}$

…..

$β_{n} = α_{n} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (α_{n}, ϵ_{i}) ϵ_{i}$ , $ϵ_{n} = \frac{β_{n}}{‖ β_{n} ‖}$

得到 $Q (ϵ_{1}, ϵ_{2} . . . ϵ_{k})$ ，由 $A = Q R$ 可知， $R = Q^{- 1} A = Q^{T} A$

數值分析中的QR分解及其程式碼實現

QR分解若A∈Cm×kA∈Cm×k是一個列滿秩的矩陣，rank(A) = k，則矩陣A 可以分解為A=QRA=QR , Q∈Cm×kQ∈Cm×k，Q 的列向量為A 的列空間的標準正交基， R∈Ck×kR∈Ck×k ，是一個可逆的上三角矩陣， A 的列

數值分析中的高斯消元 c語言實現附帶註釋

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