問題引入：

現有$a[i](0<=i<2^n)$
對於每一$i$,求$\sum_{j∈i}a[j]$
這裡的$∈$指二進位制狀態下的被包含。

暴力解決問題：

即暴力列舉子集求和。
複雜度計算：

$\sum_{i=0}^nC_{n}^i*2^i$

$=\sum_{i=0}^nC_{n}^i*2^i*1^{n-i}$

$=(1+2)^n$

動態規劃：

考慮對於一個$i$，列舉把一個0變成1，轉移上去。

但是這樣顯然會有重。

比如說$i=0$
第一輪加上$2^0$，第二輪加上了$2^1$

也可以第一輪加上$2^1$，第二輪加上$2^0$

這樣就會重複。

那麼考慮使增加的1的位置遞增的。

設$f_{i,j}$表示到$i$了，上一次增加的1是第$j$位上的。

那麼列舉$k((k>=j)~and~(i的第k位是0))$，$f(i|2^k,k)+=f(i,j)$

這樣的複雜度是$O(2^n*n^2)$

對於上面的式子可以字首和優化：
即$f(i,j)+=f(i,j-1),f(i|2^j,j)+=f(i,j)(i的第j位是0)$

複雜度$O(2^n*n)$

正題：

把上述問題看作一個n維空間，每一維座標的範圍是$[0..1]$,求字首和。

考慮二維暴力是怎麼做的（不差分）？

先一行一行的掃描，記錄下來和，然後再一列一列的掃描。

高維同理，就是一維一維的掃描。

下面給出程式碼實現：

fo(j, 0, N - 1) fo(i, 0, (1 << N) - 1)
		if(i >> j & 1) a[i] += a[i ^ (1 << j)];

複雜度$O(2^n*n)$