九宮疑難(八數碼)求解過程動態演示
（原始碼下載地址： http://www.qqgb.com/Program/VC/VCarithmetic/soucecode/20041220141933_vczx_ninegird_src.zip）
一、題目說明：
（九宮問題）在一個３×３的九宮中有１－８這８個數及一個空格隨機的擺放在其中的格子裡，如圖１－１所示。現在要求實現這個問題：將該九宮格調整為如圖１－１右圖所示的形式。調整的規則是：每次只能將與空格（上、下、或左、右）相鄰的一個數字平移到空格中。試程式設計實現這一問題的求解。
（圖１－１）
二、題目分析：
九宮問題是人工智慧中的經典難題之一，問題是在３×３方格棋盤中，放８格數，剩下的沒有放到的為空，每次移動只能是和相鄰的空格交換數。程式自動產生問題的初始狀態，通過一系列交換動作將其轉換成目標排列（如下圖１－２到圖１－３的轉換）。
（圖１－２） （圖１－３）
九宮問題中，程式產生的隨機排列轉換成目標共有兩種可能，而且這兩種不可能同時成立，也就是奇數排列和偶數排列。我們可以把一個隨機排列的陣列從左到右從上到下用一個一維陣列表示，如上圖１－２我們就可以表示成｛８，７，１，５，２，６，３，４，０｝其中０代表空格。
在這個陣列中我們首先計算它能夠重排列出來的結果，公式就是：
∑（Ｆ（Ｘ））＝Ｙ，其中Ｆ（Ｘ）
就是一個數他前面比這個數小的數的個數，Ｙ為奇數和偶數個有一種解法。那麼上面的陣列我們就可以解出它的結果。
Ｆ（８）＝０；
Ｆ（７）＝０；
Ｆ（１）＝０；
Ｆ（５）＝１；
Ｆ（２）＝１；
Ｆ（６）＝３；
Ｆ（３）＝２；
Ｆ（４）＝３；
Ｙ＝０＋０＋０＋１＋１＋３＋２＋３＝１０
Ｙ＝１０是偶數，所以他的重排列就是如圖１－３的結果，如果加起來的結果是奇數重排的結果就是如圖１－１最右邊的排法。
三、演算法分析
九宮問題的求解方法就是交換空格（０）位置，直至到達目標位置為止。圖形表示就是：
（圖３－１）
要想得到最優的就需要使用廣度優先搜尋，九宮的所以排列有９！種，也就是３６２８８０種排法，資料量是非常大的，我使用的廣度搜索，需要記住每一個結點的排列形式，要是用陣列記錄的話會佔用很多的記憶體，我們把資料進行適當的壓縮。使用ＤＷＯＲＤ形式儲存，壓縮形式是每個數字用３位表示，這樣就是３×９＝２７個位元組，由於８的二進位制表示形式１０００，不能用３位表示，我使用了一個小技巧就是將８表示位０００，然後用多出來的５個字表示８所在的位置，就可以用ＤＷＯＲＤ表示了。用移位和或操作將資料逐個移入，比乘法速度要快點。定義了幾個結果來儲存遍歷到了結果和搜尋完成後儲存最優路徑。
類結構如下：
class CNineGird
{
public:
struct PlaceList
{
DWORD Place;
PlaceList* Left;
PlaceList* Right;
};
struct Scanbuf
{
DWORD Place;
int ScanID;
};
struct PathList
{
unsigned char Path[9];
};
private:
PlaceList *m_pPlaceList;
Scanbuf *m_pScanbuf;
RECT m_rResetButton;
RECT m_rAutoButton;
public:
int m_iPathsize;
clock_t m_iTime;
UINT m_iStepCount;
unsigned char m_iTargetChess[9];
unsigned char m_iChess[9];
HWND m_hClientWin;
PathList *m_pPathList;
bool m_bAutoRun;
private:
inline bool AddTree(DWORD place , PlaceList*& parent);
void FreeTree(PlaceList*& parent);
inline void ArrayToDword(unsigned char *array , DWORD & data);
inline void DwordToArray(DWORD data , unsigned char *array);
inline bool MoveChess(unsigned char *array , int way);
bool EstimateUncoil(unsigned char *array);
void GetPath(UINT depth);
public:
void MoveChess(int way);
bool ComputeFeel();
void ActiveShaw(HWND hView);
void DrawGird(HDC hDC , RECT clientrect);
void DrawChess(HDC hDC , RECT clientrect);
void Reset();
void OnButton(POINT pnt , HWND hView);
public:
CNineGird();
~CNineGird();
};
計算隨機隨機陣列使用了vector模板用random_shuffle（，）函式來打亂陣列資料，並計算目標結果是什麼。程式碼：
void CNineGird::Reset()
{
if(m_bAutoRun) return;
vector vs;
int i;
for (i = 1 ; i < 9 ; i ++)
vs.push_back(i);
vs.push_back(0);
random_shuffle(vs.begin(), vs.end());
random_shuffle(vs.begin(), vs.end());
for ( i = 0 ; i < 9 ; i ++)
{
m_iChess[i] = vs[i];
}
if (!EstimateUncoil(m_iChess))
{
unsigned char array[9] = {1,2,3,8,0,4,7,6,5};
memcpy(m_iTargetChess , array , 9);
}
else
{
unsigned char array[9] = {1,2,3,4,5,6,7,8,0}
memcpy(m_iTargetChess , array , 9);
}
m_iStepCount = 0;
}
資料壓縮函式實現：
inline void CNineGird::ArrayToDword(unsigned char *array , DWORD& data)
{
unsigned char night = 0;
for ( int i = 0 ; i < 9 ; i ++)
{
if (array[i] == 8)
{
night = (unsigned char)i;
break;
}
}
array[night] = 0;
data = 0;
data = (DWORD)((DWORD)array[0] << 29 | (DWORD)array[1] << 26 |
(DWORD)array[2] << 23 | (DWORD)array[3] << 20 |
(DWORD)array[4] << 17 | (DWORD)array[5] << 14 |
(DWORD)array[6] << 11 | (DWORD)array[7] << 8 |
(DWORD)array[8] << 5 | night);
array[night] = 8;
}
解壓縮時跟壓縮真好相反，解壓程式碼：
inline void CNineGird::DwordToArray(DWORD data , unsigned char *array)
{
unsigned char chtem;
for ( int i = 0 ; i < 9 ; i ++)
{
chtem = (unsigned char)(data >> (32 - (i + 1) * 3) & 0x00000007);
array[i] = chtem;
}
chtem = (unsigned char)(data & 0x0000001F);
array[chtem] = 8;
}
由於可擴充套件的資料量非常的大，加上我在儲存的時候使用的是ＤＷＯＲＤ型別，將每一步資料都記錄在一個排序二叉樹中，按從小到大從左到有的排列，搜尋的時候跟每次搜尋將近萬次的形式比較快幾乎是Ｎ次方倍，把幾個在迴圈中用到的函式宣告為行內函數，並在插入的時候同時搜尋插入的資料會不會在樹中有重複來加快總體速度。二叉樹插入程式碼：
inline bool CNineGird::AddTree(DWORD place , PlaceList*& parent)
{
if (parent == NULL)
{
parent = new PlaceList();
parent->Left = parent->Right = NULL;
parent->Place = place;
return true;
}
if (parent->Place == place)
return false;
if (parent->Place > place)
{
return AddTree(place , parent->Right);
}
return AddTree(place , parent->Left);
}
計算結果是奇數排列還是偶數排列的程式碼：
bool CNineGird::EstimateUncoil(unsigned char *array)
{
int sun = 0;
for ( int i = 0 ; i < 8 ; i ++)
{
for ( int j = 0 ; j < 9 ; j ++)
{
if (array[j] != 0)
{
if (array[j] == i +1 )
break;
if (array[j] < i + 1)
sun++;
}
}
}
if (sun % 2 == 0)
return true;
else
return false;
}
移動到空格位的程式碼比較簡單，只要計算是否會移動到框外面就可以了，並在移動的時候順便計算一下是不是已經是目標結果，這是用來給使用者手工移動是給與提示用的，程式碼：
inline bool CNineGird::MoveChess(unsigned char *array , int way)
{
int zero , chang;
bool moveok = false;
for ( zero = 0 ; zero < 9 ; zero ++)
{
if (array[zero] == 0)
break;
}
POINT pnt;
pnt.x = zero % 3;
pnt.y = int(zero / 3);
switch(way)
{
case 0 : //up
if (pnt.y + 1 < 3)
{
chang = (pnt.y + 1) * 3 + pnt.x ;
array[zero] = array[chang];
array[chang] = 0;
moveok = true;
}
break;
case 1 : //down
if (pnt.y - 1 > -1)
{
chang = (pnt.y - 1) * 3 + pnt.x ;
array[zero] = array[chang];
array[chang] = 0;
moveok = true;
}
break;
case 2 : //left
if (pnt.x + 1 < 3)
{
chang = pnt.y * 3 + pnt.x + 1;
array[zero] = array[chang];
array[chang] = 0;
moveok = true;
}
break;
case 3 : //right
if (pnt.x - 1 > -1)
{
chang = pnt.y * 3 + pnt.x - 1;
array[zero] = array[chang];
array[chang] = 0;
moveok = true;
}
break;
}
if (moveok && !m_bAutoRun)
{
m_iStepCount ++ ;
DWORD temp1 ,temp2;
ArrayToDword(array , temp1);
ArrayToDword(m_iTargetChess , temp2);
if (temp1 == temp2)
{
MessageBox(NULL , "你真聰明這麼快就搞定了!" , "^_^" , 0);
}
}
return moveok;
}
我在進行廣度搜索時候，將父結點所在的陣列索引記錄在子結點中了，所以得到目標排列的時候，我們只要從子結點逆向搜尋就可以得到最優搜尋路徑了。用變數m_iPathsize來記錄總步數，具體函式程式碼：
void CNineGird::GetPath(UINT depth)
{
int now = 0 , maxpos = 100 ;
UINT parentid;
if (m_pPathList != NULL)
{
delete[] m_pPathList;
}
m_pPathList = new PathList[maxpos];
parentid = m_pScanbuf[depth].ScanID;
DwordToArray(m_pScanbuf[depth].Place , m_pPathList[++now].Path);
while(parentid != -1)
{
if (now == maxpos)
{
maxpos += 10;
PathList * temlist = new PathList[maxpos];
memcpy(temlist , m_pPathList , sizeof(PathList) * (maxpos - 10));
delete[] m_pPathList;
m_pPathList = temlist;
}
DwordToArray(m_pScanbuf[parentid].Place , m_pPathList[++now].Path);
parentid = m_pScanbuf[parentid].ScanID;
}
m_iPathsize = now;
}
動態排列的演示函式最簡單了，為了讓主窗體有及時重新整理的機會，啟動了一個執行緒在需要主窗體重新整理的時候，用Ｓｌｅｅ（ＵＩＮＴ）函式來暫停一下執行緒就可以了。程式碼：
unsigned __stdcall MoveChessThread(LPVOID pParam)
{
CNineGird * pGird = (CNineGird *)pParam;
RECT rect;
pGird->m_iStepCount = 0;
::GetClientRect(pGird->m_hClientWin , &rect);
for ( int i = pGird->m_iPathsize ; i > 0 ; i --)
{
memcpy(pGird->m_iChess , pGird->m_pPathList[i].Path , 9);
pGird->m_iStepCount ++;
InvalidateRect( pGird->m_hClientWin , &rect , false);
Sleep(300);
}
char msg[100];
sprintf(msg , "^_^ ! 搞定了!\r\n計算步驟用時%d毫秒" , pGird->m_iTime);
MessageBox(NULL , msg , "~_~" , 0);
pGird->m_bAutoRun = false;
return 0L;
}
最後介紹一下搜尋函式的原理，首先得到源陣列，將其轉換成ＤＷＯＲＤ型，與目標比較，如果相同完成，不同就交換一下資料和空格位置，加入二叉樹，搜尋下一個結果，直到沒有步可走了，在搜尋剛剛搜尋到的位置的子位置，這樣直到找到目標結果為止，函式：
bool CNineGird::ComputeFeel()
{
unsigned char *array = m_iChess;
UINT i;
const int MAXSIZE = 362880;
unsigned char temparray[9];
DWORD target , fountain , parent , parentID = 0 , child = 1;
ArrayToDword(m_iTargetChess , target);
ArrayToDword(array , fountain);
if (fountain == target)
{
return false;
}
if (m_pScanbuf != NULL)
{
delete[] m_pScanbuf;
}
m_pScanbuf = new Scanbuf[MAXSIZE];
AddTree(fountain ,m_pPlaceList);
m_pScanbuf[ 0 ].Place = fountain;
m_pScanbuf[ 0 ].ScanID = -1;
clock_t tim = clock();
while(parentID < MAXSIZE && child < MAXSIZE)
{
parent = m_pScanbuf[parentID].Place;
for ( i = 0 ; i < 4 ; i ++) // 0 :UP , 1:Down ,2:Left,3:Right
{
DwordToArray(parent , temparray);
if (MoveChess(temparray,i)) //是否移動成功
{
ArrayToDword(temparray , fountain);
if (AddTree(fountain, m_pPlaceList)) //加入搜尋數
{
m_pScanbuf[ child ].Place = fountain;
m_pScanbuf[ child ].ScanID = parentID;
if (fountain == target) //是否找到結果
{
m_iTime = clock() - tim;
GetPath(child);//計算路徑
FreeTree(m_pPlaceList);
delete[] m_pScanbuf;
m_pScanbuf = NULL;
return true;
}
child ++;
}
}
} // for i
parentID++;
}
m_iTime = clock() - tim;
FreeTree(m_pPlaceList);
delete[] m_pScanbuf;
m_pScanbuf = NULL;
return false;
}
重要函式的介紹結束，下面是程式的執行結果和運算結果：
