算術表示式的字首式、中綴式、字尾式相互轉換
中綴表示式(中綴記法)
中綴表示式是一種通用的算術或邏輯公式表示方法,操作符以中綴形式處於運算元的中間。中綴表示式是人們常用的算術表示方法。
雖然人的大腦很容易理解與分析中綴表示式,但對計算機來說中綴表示式卻是很複雜的,因此計算表示式的值時,通常需要先將中綴表示式轉換為字首或字尾表示式,然後再進行求值。對計算機來說,計算字首或字尾表示式的值非常簡單。
字首表示式(字首記法、波蘭式)
字首表示式的運算子位於運算元之前。
字首表示式的計算機求值:
從右至左掃描表示式,遇到數字時,將數字壓入堆疊,遇到運算子時,彈出棧頂的兩個數,用運算子對它們做相應的計算(棧頂元素 op 次頂元素),並將結果入棧;重複上述過程直到表示式最左端,最後運算得出的值即為表示式的結果。
例如字首表示式“- × + 3 4 5 6”:
(1) 從右至左掃描,將6、5、4、3壓入堆疊;
(2) 遇到+運算子,因此彈出3和4(3為棧頂元素,4為次頂元素,注意與字尾表示式做比較),計算出3+4的值,得7,再將7入棧;
(3) 接下來是×運算子,因此彈出7和5,計算出7×5=35,將35入棧;
(4) 最後是-運算子,計算出35-6的值,即29,由此得出最終結果。
可以看出,用計算機計算字首表示式的值是很容易的。
給出一箇中綴表示式如下:
a+b*c-(d+e)
第一步:按照運算子的優先順序對所有的運算單位加括號,
式子變成了:((a+(b*c))-(d+e))
第二步:轉換字首與字尾表示式
字首:把運算子號移動到對應的括號前面
則變成了:-( +(a *(bc)) +(de))
把括號去掉:-+a*bc+de 字首式子出現
字尾:把運算子號移動到對應的括號後面
則變成了:((a(bc)* )+ (de)+ )-
把括號去掉:abc*+de+- 字尾式子出現
<1> 將中綴表示式“1+((2+3)*4)-5”轉換為字首表示式。
(1)構建兩個棧,一個存運算子一個存運算元。運算子(以括號分界點)在棧內遵循越往棧頂優先順序不降低的原則排序。
(2)從右往左掃描中綴式表示式,從右邊第一個字元開始判斷。
如果當前字元是數字,則分配到數字串的結尾並將數字串直接輸出。
如果是運算子,則比較優先順序。如果當前運算子的優先順序大於等於棧頂運算子的優先順序(當棧頂是括號時,直接入棧),則將運算子直接入棧;否則將棧頂運 算符出棧並輸出,直到當前運算子的優先順序大於等於棧頂運算子的優先順序(當棧頂元素是括號直接入棧),再將當前運算子入棧。如果是括號,則根據括號的 方向進行處理。如果是括號直接入棧;否則,遇右括號前將所有的運算子全部出棧並輸出,遇右括號後將左右的兩括號一起刪除。
(3)重複上述操作(2)直至掃描結束,將棧內剩餘運算子全部出棧並輸出,再將綴輸出字串。中綴表示式就變成了字首表示式了。
中綴表示式 | 字首表示式 | (棧頂)運算子棧(棧尾) | 說明 |
5 | 5 | 空 | 5,是數字串直接輸出 |
- | 5 | - | -,棧內無運算子,直接入棧 |
) | 5 | -) | ),直接入棧 |
4 | 5 4 | -) | 4,是數字串直接輸出 |
* | 5 4 | -)* | *,棧頂是括號,直接入棧 |
) | 5 4 | - ) * ) | ),直接入棧 |
3 | 5 4 3 | - ) * ) | 3,是數字串直接輸出 |
+ | 5 4 3 | - ) * ) + | +,棧頂是括號,直接入棧 |
2 | 5 4 3 2 | - ) * )+ | 2,是數字串直接輸出 |
( | 5 4 3 2+ | - ) * | (, |
( | 5 4 3 2+* | - | (, |
+ | 5 4 3 2+* | -+ | +,優先順序大於等於棧頂運算子,直接入棧 |
1 | 5 4 3 2+*1 | -+ | 1,是數字串直接輸出 |
空 | 5 4 3 2+*1+- | 空 | 掃描結束,將棧內剩餘運算子全部出棧並輸出 |
空 | - + 1 * + 2 3 4 5 | 空 | 逆綴輸出字串 |
【2】中綴表示式轉換為字尾表示式
過程和【1】差不多,只不過是從左往右掃描,方向換了一個,其他一樣。
還是這個式子:1+((2+3)*4)-5
中綴表示式 | 字尾表示式 | (棧頂)運算子棧(棧尾) | 說明 |
1 | 1 | 空 | 1,是數字串直接輸出 |
+ | 1 | + | +,棧內無運算子,直接入棧 |
( | 1 | +( | (,直接入棧 |
( | 1 | +(( | (,直接入棧 |
2 | 1 2 | +(( | 2 ,數字 |
+ | 1 2 | +((+ | +,直接入棧 |
3 | 1 2 3 | +((+ | 3,是數字串直接輸出 |
) | 1 2 3 + | +( | 碰到 )找到(之前所有符號彈出出 |
* | 1 2 3 + | +(* | * |
4 | 1 2 3 + 4 | +(* | 4 |
) | 1 2 3 + 4 * | + | 碰到 )找到(之前所有符號彈出出 |
- | 1 2 3 + 4 * | + - | - |
5 | 1 2 3 + 4 *5 | + - | 5 |
空 | 1 2 3 + 4 *5 - + | 空 | 掃描結束 |
空 | 1 2 3 + 4 *5 - + | 空 | 逆綴輸出字串 |