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淺談演算法——從多項式乘法到FFT

阿新 • • 發佈：2019-02-20

多項式乘法

我們知道，多項式可以表示成：

A=∑i=0naixi的形式。
對於兩個多項式A(x)和B(x)，我們可以計算乘積A⋅B：A⋅B=∑i=0sizeA∑j=0sizeBaibjxi+j
但是，這樣算是O(sizeA⋅sizeB)的，太慢了，怎麼辦？
我們需要換一條思路。

首先，我們得知道一個東西：多項式的點值表示法。
我們把上面的稱為多項式的係數表示法，而點值表示法就是：
若A多項式的次數為n，則任取n個不相同的x0,x1,⋯,xn，求出

A多項式的A(x0),A(x1),⋯,A(xn)。記為：

<(x0,A(x0)),(x1,A(x1)),⋯,(xn,A(xn))>顯然，一個有n+1個點的點對唯一表示一個n次多項式。

對於一個點值表示法下多項式

<(x0,A(x0)),(x1,A(x1)),⋯,(xn,A(xn))>和<(x0,B
(x0)),(x1,B(x1)),⋯,(xn,B(xn))>它們的乘積是