問題：邊界條件的考慮方式，權值相等時，第二關鍵字應該是最大化還是最小化。

用 hzwer 的選 \(k\) 個白點那道題來說吧，給每個白點增加 \(mid\) 的權值，計算 MST 的白點數量 \(cnt\) 。

\(mid\) 增大， \(cnt\) 減小，二分大概長這樣：

    while (l <= r) {
        cnt = check(mid);
        if (cnt <= k) {
            // update ans
            r = mid - 1;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }
 

類似一個單調不升的序列，二分一個值，最後肯定是停在一段連續相同的值的左邊（因為 \(cnt = k\) 的時候還在減小 \(mid\) ）。

如此能保證的只有 \(mid - 1\) 位置的 \(cnt > k\) ，它是非法的。

這種非法情況，應該無論如何都非法。就是說 \(mid - 1\) 位置對應的各種 \(cnt_{min}, \cdots, cnt_{max}\) ，都大於 \(k\) （否則合法的情況就可能在 \(mid - 1\) 位置，這時候該選 \(mid\) 還是 \(mid - 1\) 就說不清了），所以應該保證 \(cnt_{min}>k\) 才正確。

說完了。

具體放到題裏面，求 \(cnt\) 時，點權相同時，最小化 \(cnt\) 。反過來說有人二分裏面更新答案時用的是 cnt >= k ， 那就應該優先選白點，計算 \(cnt_{max}\) 。

似乎大佬們有不同的解釋，不過暫時我只能這樣理解，似乎沒什麽問題。八省聯考 2018 林克卡特樹 也是這個方式考慮第二關鍵字（沒有這個東西，是我口胡的）。

帶權二分-一丟丟感悟