給定兩個長度為 \(n\) 的數列 \(a\) 和 \(b\)，有 \(m\) 個操作，操作分為三類：

• \(1\) \(l\) \(r\) \(w\) ：將數列 \(a\) 中區間 \([l,r]\) 內所有數加上 \(w\) ;

• \(2\) \(x\) \(y\) ：交換 \(b_x\) 和 \(b_y\) ;

• \(3\) \(l\) \(r\) ： 求 \(\displaystyle \max_{i=l}^r \{a_i\cdot b_i\}\) .

\(1\le n,m\le 10^5,\ 0\le a_i\le 10^7,\ 0\le b_i\le 10^5,\ 0\le w_i\le 100\)

考慮分塊。每一塊就直接維護 max{\(a_i\cdot b_i\)} .

然後我們看操作。第二個操作十分簡單，直接交換後暴力重構即可。第一個操作區間修改，兩邊的塊也可以直接修改。關鍵在於中間的塊。

我們要求的元素的權值 \(w_i=cnt\cdot b_i+c_i\). \( \(cnt\) 為整塊累加的值, \(c_i=a_i\cdot b_i\))

我們發現這其實是一個一次函數。我們對於每個 \(cnt\) 要找到最大的 \(w_i\) .

我們考慮對上面的式子變形，得到： \(c_i=-cnt\cdot b_i+w_i\).

我們要求的 \(w_i\) 即為斜率為 \(-cnt\)

這樣我們對於每一塊按 \(b\) 值排序，然後維護一個上凸殼。每次整塊增加時直接打標記，然後向右移動最大值位置。

單次修改復雜度為 $ \displaystyle\frac{n}{S}+S\log n$ ， 取塊大小 \(S\) 為 \(\displaystyle \sqrt{\frac{n}{\log n}}\) 復雜度最優為 \(O(\sqrt{n\log n})\)

【OJ3358】簡單的數列題