題面

洛谷

題解

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題意描述裏有一句："對每張圖片\(i\)，小\(D\)都最多只記住了某一張質量不比\(i\)差的另一張圖片\(K_i\)。"

即只有一個父親，且\(m\leq n\),所以建樹，容易想到樹形\(dp\)，

對於"\(=\)"的，直接用並查集將之看成一個點，

對於"\(<\)"的，將小的連一條到大的點的邊，

然後不一定是一棵樹，可能是森林，所以建一個超級根節點連起來。

設\(f[u][i]\)表示以\(u\)為根，分成\(i\)段(即共有\(y-1\)個小於，每個小於兩邊所有圖片質量相等)的方案數，

按照樹形\(dp\)轉移，則有
\[f[u][i]=\sum f'[u][j]\times f[v][k]\times num\]

\(num\)表示將\(j\)段和\(k\)段合並的方案數，如何求呢？

設\(f[u]\)的質量序列為\(A\)，\(f'[u]\)的質量序列為\(B\)，\(f[v]\)的質量序列為\(C\)。

\(A\)中的每一段可以只包含\(B\)中的一段，可以只包含\(C\)中的一段，也可以有\(B\)和\(C\)中各一段合並而成，但不能為空。特殊地，\(A\)的第一段只能包含節點\(u\)。

因為\(f[u]\)與\(f'[u]\)都包含\(u\)

然後
\[Ans=\sum f[n+1][i]\]

最後復雜度為\(O(n^3)\)。

代碼

#include <iostream> 
#include <cstdio> 
#include <cstdlib> 
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm> 
using namespace std; 
const int Mod = 1e9 + 7; 
const int MAX_N = 105; 
struct Graph { int to, next; } e[MAX_N << 1]; int fir[MAX_N], e_cnt; 
void clearGraph() { memset(fir, -1, sizeof(fir)); e_cnt = 0; } 
void Add_Edge(int u, int v) { e[e_cnt] = (Graph){v, fir[u]}; fir[u] = e_cnt++; }
int pa[MAX_N]; 
int getf(int x) { return pa[x] == x ? x : pa[x] = getf(pa[x]); } 
int N, M, X[MAX_N], Y[MAX_N], cnt[MAX_N], C[MAX_N][MAX_N]; 
bool isroot[MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N], size[MAX_N];
void dfs(int x) { 
    size[x] = f[x][1] = 1; 
    for (int i = fir[x]; ~i; i = e[i].next) {
        int v = e[i].to; dfs(v);
        size[x] += size[v];
        for (int j = size[x]; j >= 1; j--) {
            int res = 0; 
            for (int k = 1; k <= min(size[x] - size[v], j); k++)
                for (int l = max(1, j - k); l <= size[v]; l++) 
                    res = (res + 1ll * f[x][k] * f[v][l] % Mod 
                           * C[j - 1][k - 1] % Mod
                           * C[k - 1][l - j + k] % Mod) % Mod;
            f[x][j] = res;
        } 
    } 
} 
int main () { 
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("cpp.in", "r", stdin); 
#endif
    clearGraph(); 
    scanf("%d%d", &N, &M);
    C[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N + 1; i++) C[i][0] = 1, C[i][i] = 1;
    for (int i = 2; i <= N + 1; i++) 
        for (int j = 1; j < i; j++)
            C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % Mod; 
    for (int i = 1; i <= N; i++) pa[i] = i;
    
    for (int i = 1; i <= M; i++) { 
        char ch[5]; 
        scanf("%d%s%d", X + i, ch, Y + i); 
        if (ch[0] == '=') pa[getf(Y[i])] = getf(X[i]); 
    } 
    for (int i = 1; i <= M; i++) X[i] = getf(X[i]), Y[i] = getf(Y[i]); 
    for (int i = 1; i <= M; i++) { 
        if (X[i] == Y[i]) continue; 
        if (getf(X[i]) != getf(Y[i])) {
            Add_Edge(X[i], Y[i]), cnt[Y[i]]++, isroot[X[i]] = 1; 
            pa[getf(Y[i])] = getf(X[i]); 
        } else return puts("0") & 0; 
    } 
    for (int i = 1; i <= N; i++) if (isroot[i] && !cnt[i]) Add_Edge(N + 1, i); 
    dfs(N + 1);
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= size[N + 1]; i++) ans = (ans + f[N + 1][i]) % Mod;
    printf("%d\n", ans); 
    return 0; 
} 
 

【LG3240】[HNOI2015]實驗比較