結果 由於 定義 自己 表示 相同 上下文 子節點 轉化

Description

小D 被邀請到實驗室，做一個跟圖片質量評價相關的主觀實驗。實驗用到的圖片集一共有 N 張圖片，編號為 1 到 N。實驗分若幹輪進行，在每輪實驗中，小 D會被要求觀看某兩張隨機選取的圖片， 然後小D 需要根據他自己主觀上的判斷確定這兩張圖片誰好誰壞，或者這兩張圖片質量差不多。 用符號“<”、“>”和“=”表示圖片 x和y（x、y為圖片編號）之間的比較：如果上下文中 x 和 y 是圖片編號，則 x<y 表示圖片 x“質量優於”y，x>y 表示圖片 x“質量差於”y，x=y表示圖片 x和 y“質量相同”；也就是說，這種上下文中，“<”、“>”、“=”分別是質量優於、質量差於、質量相同的意思；在其他上下文中，這三個符號分別是小於、大於、等於的含義。圖片質量比較的推理規則（在 x和y是圖片編號的上下文中）：（1）x < y等價於 y > x。（2）若 x < y 且y = z，則x < z。（3）若x < y且 x = z，則 z < y。（4）x=y等價於 y=x。（5）若x=y且 y=z，則x=z。 實驗中，小 D 需要對一些圖片對(x, y)，給出 x < y 或 x = y 或 x > y 的主觀判斷。小D 在做完實驗後， 忽然對這個基於局部比較的實驗的一些全局性質產生了興趣。在主觀實驗數據給定的情形下，定義這 N 張圖片的一個合法質量序列為形如“x1 R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi為圖片編號，x1,x2,…,xN兩兩互不相同（即不存在重復編號），Ri為<或=，“合法”是指這個圖片質量序列與任何一對主觀實驗給出的判斷不沖突。 例如： 質量序列3 < 1 = 2 與主觀判斷“3 > 1，3 = 2”沖突（因為質量序列中 3<1 且1=2，從而3<2，這與主觀判斷中的 3=2 沖突；同時質量序列中的 3<1 與主觀判斷中的 3>1 沖突） ，但與主觀判斷“2 = 1，3 < 2” 不沖突；因此給定主觀判斷“3>1，3=2”時，1<3=2 和1<2=3 都是合法的質量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的質量序列。由於實驗已經做完一段時間了，小D 已經忘了一部分主觀實驗的數據。對每張圖片 i，小 D 都最多只記住了某一張質量不比 i 差的另一張圖片 Ki。這些小 D 仍然記得的質量判斷一共有 M 條（0 <= M <= N），其中第i 條涉及的圖片對為(KXi, Xi)，判斷要麽是KXi < Xi ，要麽是KXi = Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以這M 條自己還記得的質量判斷作為他的所有主觀數據。現在，基於這些主觀數據，我們希望你幫小 D 求出這 N 張圖片一共有多少個不同的合法質量序列。我們規定：如果質量序列中出現“x = y”，那麽序列中交換 x和y的位置後仍是同一個序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一個序列， 1 < 2 = 3 和 1 < 3 = 2 是同一個序列，而1 < 2 < 3 與1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由於合法的圖片質量序列可能很多， 所以你需要輸出答案對10^9 + 7 取模的結果

Input

第一行兩個正整數N,M，分別代表圖片總數和小D仍然記得的判斷的條數； 接下來M行，每行一條判斷，每條判斷形如”x < y”或者”x = y”。

Output

輸出僅一行，包含一個正整數，表示合法質量序列的數目對 10^9+7取模的結果。

Sample Input

5 4
1 < 2
1 < 3
2 < 4
1 = 5

Sample Output

5

HINT

不同的合法序列共5個，如下所示：

1 = 5 < 2 < 3 < 4
1 = 5 < 2 < 4 < 3
1 = 5 < 2 < 3 = 4
1 = 5 < 3 < 2 < 4
1 = 5 < 2 = 3 < 4
100%的數據滿足N<=100。 將u<v轉化為u->v的邊，u=v則並查集合為一點
假設只存在‘<’號，那麽顯然u點子樹的方案：
枚舉兒子節點 $v$ 的時候，我們用 $tol$ 表示已處理過的子樹的總大小
$$f_u = f_u*f_v*C_{tol+f_v}^{f_v}$$

如果存在‘=’的話，顯然=只會是不同子樹的關系
由於子樹間的等號關系不好處理，我們可以將其放到狀態中，
我們記 $f_{u, k}$ 為在以 $u$ 為根的子樹中生成的序列含有 $k$ 個 ‘<‘ 的方案數。
如果從當前已處理的子樹選i個‘<‘，從v子樹選j個’<‘
那麽u子樹的‘<‘個數範圍為[max(i,j),i+j]
那麽u子樹’<‘的分布有多少種？
現在相當於將 $i$ 個白球， $j$ 個黑球放入 $k$ 個盒子中，且同個盒子不能有相同顏色的球，盒子不能空。
$$f_{u, k} += \sum_{i = 1}^a \sum_{j = 1}^b p_i*q_j*C_k^i*C_i^{j-(k-i)}$$
其中 $C_k^i$ 表示在 $k$ 個盒子中選出 $i$ 個放白球，因為所有盒子都要放球，所以剩下的 $k-i$ 個盒子必定放黑球，
剩下 $j-(k-i)$ 個黑球要放在 $i$ 個放白球的盒子中。
$$f_{u, k} += \sum_{i = 1}^a \sum_{j = 1}^b p_i*q_j*C_k^i*C_i^{j-(k-i)}$$
其中 $C_k^i$ 表示在 $k$ 個盒子中選出 $i$ 個放白球，因為所有盒子都要放球，所以剩下的 $k-i$ 個盒子必定放黑球，
剩下 $j-(k-i)$ 個黑球要放在 $i$ 個放白球的盒子中。

  1 #include<iostream>
  2 #include<cstdio>
  3 #include<cstring>
  4 #include<algorithm>
  5 #include<cmath>
  6 using namespace std;
  7 typedef long long lol;
  8 struct Node
  9 {
 10   int next,to;
 11 }edge[2001];
 12 int head[1001],num,set[1001],n,m,pre[1001],rt[1001];
 13 bool vis[1001];
 14 lol Mod=1e9+7,c[1001][1001],f[1001][1001],size[1001],ans;
 15 void add(int u,int v)
 16 {
 17   num++;
 18   edge[num].next=head[u];
 19   head[u]=num;
 20   edge[num].to=v;
 21 }
 22 int find(int x)
 23 {
 24   if (x==0) return 0;
 25   if (set[x]!=x) set[x]=find(set[x]);
 26   return set[x];
 27 }
 28 lol C(int x,int y)
 29 {
 30   return c[y][x];
 31 }
 32 bool pd(int x)
 33 {int i;
 34   vis[x]=1;
 35   for (i=head[x];i;i=edge[i].next)
 36     {int v=edge[i].to;
 37       if (vis[v]) return 0;
 38       if (pd(v)==0) return 0;
 39     }
 40   return 1;
 41 }
 42 void dfs(int x)
 43 {int i,j,k,l;
 44   int zyys=0;
 45   lol g[1001];
 46   for (i=head[x];i;i=edge[i].next)
 47     {
 48       int v=edge[i].to;
 49       memset(g,0,sizeof(g));
 50       dfs(v);
 51       if (zyys)
 52     {
 53       for (j=1;j<=size[x];j++)
 54         {
 55           for (k=1;k<=size[v];k++)
 56         {
 57           for (l=max(j,k);l<=j+k;l++)
 58             {
 59               g[l]+=(((f[x][j]*f[v][k])%Mod)*C(j,l)%Mod)*C(k-l+j,j)%Mod;
 60               g[l]%=Mod;
 61             }
 62         }
 63         }
 64       size[x]+=size[v];
 65       for (j=1;j<=size[x];j++)
 66         f[x][j]=g[j];
 67     }
 68       else
 69     {
 70       zyys=1;size[x]+=size[v];
 71       for (j=1;j<=size[x];j++)
 72         f[x][j]=f[v][j];
 73     }
 74     }
 75   if (!zyys) f[x][0]=1;
 76   size[x]++;
 77   for (i=size[x];i;i--)
 78     f[x][i]=f[x][i-1];
 79 }
 80 int main()
 81 {int i,j,x,y;
 82   char ch;
 83   cin>>n>>m;
 84   for (i=0;i<=n;i++)
 85     {
 86       c[i][0]=1;
 87       for (j=1;j<=i;j++)
 88     c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%Mod;
 89     }
 90   for (i=1;i<=n;i++)
 91     set[i]=i;
 92   for (i=1;i<=m;i++)
 93     {
 94       scanf("%d %c %d",&x,&ch,&y);
 95       if (ch==‘<‘)
 96     {
 97       pre[y]=x;
 98     }
 99       else if (ch==‘=‘)
100     {
101       int p=find(x),q=find(y);
102       if (p!=q)
103         {
104           set[p]=q;rt[p]=1;
105           pre[q]=max(pre[q],pre[p]);
106         }
107     }
108     }
109   for (i=1;i<=n;i++)
110     if (rt[i]==0) add(find(pre[i]),i);
111   for (i=0;i<=n;i++)
112     if (vis[i]==0)
113       if (pd(i)==0)
114     {
115       cout<<0<<endl;
116       return 0;
117     }
118   dfs(0);
119   for (i=1;i<=size[0];i++)
120     ans=(ans+f[0][i])%Mod;
121   cout<<ans;
122 }

[HNOI2015]實驗比較