【LuoguP3329&4123】[ZJOI2011]最小割&[CQOI2016]不同的最小割
阿新 • • 發佈：2019-02-27
rest ons continue esp ace show 一個點 next while
類似的可以得出 \(C_{u,v}\geq C_{u,t}\) , 那麽只能是 \(C_{u,v}=C_{u,t}\) 。
用歸納法可以得到一個 \(n\) 個點的圖中最多只有 \(n-1\) 個不同的最小割。
正確性就是證明只有 \(n-1\) 個不同的最小割中的道理相同 , 考慮某一個點被劃分在哪個集合從而保證了正確性。
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題意簡述
第一個題 : 問圖中有多少不同的最小割數值
第二個題 : \(q\) 次詢問圖中多少對點對之間的最小割小於 \(x\) 。
Sol
兩個都是模板題就放一起了。
求完最小割樹直接暴力 \(O(n^2)\) 弄出所有點對間最小割 , 然後該幹嘛幹嘛。
最小割樹的構建:
\(Gemory-Hu\; Tree\)算法
對於一個 \(n\) 個節點的圖 , 圖中所有點對不同的最小割數目最多只有 \(n-1\) 個 , 可以證明存在一棵樹 , 使得兩點在這棵樹上的最小割即為原圖中的最小割 。
考慮3個點兩兩之間的最小割 \(C_{u,v},C_{u,t},C_{v,t}\) , 我們已知 \(C_{u,t},C_{v,t}\)
類似的可以得出 \(C_{u,v}\geq C_{u,t}\) , 那麽只能是 \(C_{u,v}=C_{u,t}\) 。
用歸納法可以得到一個 \(n\) 個點的圖中最多只有 \(n-1\) 個不同的最小割。
如何構建最小割樹?
采用遞歸的策略 , 對於當前點集 , 任意取兩個點做最小割(註意這裏是對原圖跑最小割) , 然後給這兩個點連邊 , 權值為最小割大小。
正確性就是證明只有 \(n-1\) 個不同的最小割中的道理相同 , 考慮某一個點被劃分在哪個集合從而保證了正確性。
代碼:
cpp1:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a)) #define Copy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a)) template<class T> inline void init(T&x){ x=0;char ch=getchar();bool t=0; for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1; for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48); if(t) x=-x; } const int M=3020; const int N=200; const int INF=2e9; struct edge{ int to,next,cap,flow; }a[M<<1]; int head[N],cnt=0; int que[N],n,m; inline void add(int x,int y,int z){a[cnt]=(edge){y,head[x],z,z};head[x]=cnt++;} int d[N],S,T,cur[N]; bool bel[N];queue<int> Q; inline bool bfs(){ while(!Q.empty())Q.pop(); Set(d,0);d[S]=1;Q.push(S); while(!Q.empty()){ int u=Q.front();Q.pop(); for(int v,i=head[u];~i;i=a[i].next){ v=a[i].to;if(d[v]||!a[i].cap) continue; d[v]=d[u]+1;if(v==T) return 1; Q.push(v); } } return d[T]; } int dfs(int u,int flow){ if(u==T) return flow; int rest=flow; for(int v,&i=cur[u];~i;i=a[i].next){ v=a[i].to;if(!a[i].cap||d[v]!=d[u]+1) continue; int f=dfs(v,min(a[i].cap,rest)); if(!f) d[v]=0; rest-=f;a[i].cap-=f,a[i^1].cap+=f; if(!rest) break; } return flow-rest; } inline int Dinic(){ int flow=0; while(bfs()) Copy(cur,head),flow+=dfs(S,INF); return flow; } inline void Return(){for(int i=0;i<cnt;++i) a[i].cap=a[i].flow;for(int i=1;i<=n;++i) bel[i]=0;} void Dfs(int u){bel[u]=1;for(int v,i=head[u];~i;i=a[i].next){v=a[i].to;if(a[i].cap&&!bel[v]) Dfs(v);}} namespace GHT{ struct edge{int to,next,w;}a[N<<1]; int head[N],cnt=0; inline void add(int x,int y,int z){a[++cnt]=(edge){y,head[x],z};head[x]=cnt;} int tmp[N]; inline void Clear(){Set(head,0);cnt=0;} void Build(int l,int r){ if(l>=r) return; S=que[l],T=que[r];Return();int Flow=Dinic();Dfs(S); int L=l-1,R=r+1;add(S,T,Flow),add(T,S,Flow); for(int i=l;i<=r;++i) {int u=que[i];if(bel[u]) tmp[++L]=u;else tmp[--R]=u;} for(int i=l;i<=r;++i) que[i]=tmp[i]; Build(l,L),Build(R,r); return; } int gezi[N*N]; inline void DFS(int u,int fa,int Mi){ if(Mi!=INF) gezi[++gezi[0]]=Mi; for(int v,i=head[u];i;i=a[i].next){ v=a[i].to;if(v==fa) continue; DFS(v,u,min(Mi,a[i].w)); } } inline void work(){ for(int i=1;i<=n;++i) que[i]=i; Build(1,n);gezi[0]=0; for(int i=1;i<=n;++i) DFS(i,0,INF); sort(gezi+1,gezi+1+gezi[0]); int q;init(q); while(q--){ int x;init(x);printf("%d\n",(upper_bound(gezi+1,gezi+1+gezi[0],x)-gezi-1)/2); } puts(""); return; } } int main() { int T;init(T); while(T--){ Set(head,-1);cnt=0;GHT::Clear(); init(n),init(m); int u,v,w; for(int i=1;i<=m;++i) { init(u),init(v),init(w); add(u,v,w),add(v,u,w); } GHT::work(); } return 0; }
cpp2:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define Set(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define Copy(a,b) memcpy(a,b,sizeof(a))
template<class T> inline void init(T&x){
x=0;char ch=getchar();bool t=0;
for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
if(t) x=-x;
}
const int M=8501;
const int N=1000;
const int INF=2e9;
struct edge{
int to,next,cap,flow;
}a[M<<1];
int head[N],cnt=0;
int que[N],n,m;
inline void add(int x,int y,int z){a[cnt]=(edge){y,head[x],z,z};head[x]=cnt++;}
int d[N],S,T,cur[N];
bool bel[N];queue<int> Q;
inline bool bfs(){
while(!Q.empty())Q.pop();
Set(d,0);d[S]=1;Q.push(S);
while(!Q.empty()){
int u=Q.front();Q.pop();
for(int v,i=head[u];~i;i=a[i].next){
v=a[i].to;if(d[v]||!a[i].cap) continue;
d[v]=d[u]+1;if(v==T) return 1;
Q.push(v);
}
}
return d[T];
}
int dfs(int u,int flow){
if(u==T) return flow;
int rest=flow;
for(int v,&i=cur[u];~i;i=a[i].next){
v=a[i].to;if(!a[i].cap||d[v]!=d[u]+1) continue;
int f=dfs(v,min(a[i].cap,rest));
if(!f) d[v]=0;
rest-=f;a[i].cap-=f,a[i^1].cap+=f;
if(!rest) break;
}
return flow-rest;
}
inline int Dinic(){
int flow=0;
while(bfs()) Copy(cur,head),flow+=dfs(S,INF);
return flow;
}
inline void Return(){for(int i=0;i<cnt;++i) a[i].cap=a[i].flow;for(int i=1;i<=n;++i) bel[i]=0;}
void Dfs(int u){bel[u]=1;for(int v,i=head[u];~i;i=a[i].next){v=a[i].to;if(a[i].cap&&!bel[v]) Dfs(v);}}
namespace GHT{
struct edge{int to,next,w;}a[N<<1];
int head[N],cnt=0;
inline void add(int x,int y,int z){a[++cnt]=(edge){y,head[x],z};head[x]=cnt;}
int tmp[N];
void Build(int l,int r){
if(l>=r) return;
S=que[l],T=que[r];Return();int Flow=Dinic();Dfs(S);
int L=l-1,R=r+1;add(S,T,Flow),add(T,S,Flow);
for(int i=l;i<=r;++i) {int u=que[i];if(bel[u]) tmp[++L]=u;else tmp[--R]=u;}
for(int i=l;i<=r;++i) que[i]=tmp[i];
Build(l,L),Build(R,r);
return;
}
map<int,int>vis;
int ans=0;
inline void DFS(int u,int fa,int Mi){
if(Mi!=INF) {if(!vis.count(Mi)) vis[Mi]=1,++ans;}
for(int v,i=head[u];i;i=a[i].next){
v=a[i].to;if(v==fa) continue;
DFS(v,u,min(Mi,a[i].w));
}
}
inline void work(){
for(int i=1;i<=n;++i) que[i]=i;
Build(1,n);
for(int i=1;i<=n;++i) DFS(i,0,INF);
cout<<ans<<endl;
return;
}
}
int main()
{
Set(head,-1);
init(n),init(m);
int u,v,w;
for(int i=1;i<=m;++i) {
init(u),init(v),init(w);
add(u,v,w),add(v,u,w);
}
GHT::work();
return 0;
}
【LuoguP3329&4123】[ZJOI2011]最小割&[CQOI2016]不同的最小割