題目：設$a,b,c\geq 0$, $ab+bc+ca=1$, 求證：$a\sqrt{1+a^2}+b\sqrt{1+b^2}+c\sqrt{1+c^2}\geq 2.$

證明：作代換$a=\sqrt{\frac{yz}{(x+y+z)x}}$, $b=\sqrt{\frac{zx}{(x+y+z)y}}$, $c=\sqrt{\frac{xy}{(x+y+z)z}}$, 則原不等式可化為

$\sum{\frac{\sqrt{yz (x+y)(x+z)}}{x(x+y+z)}}\geq 2.$

即

$\sum{\frac{\sqrt{yz (x+y)(x+z)}}{x}}\geq 2(x+y+z).$ (1)

由柯西不等式及AM-GM不等式可得：

$\sum{\frac{\sqrt{yz (x+y)(x+z)}}{x}}\geq \sum{\frac{\sqrt{yz (\sqrt{xy}+\sqrt{xz})^2}}{x}}=\sum{\left(y\sqrt{\frac{z}{x}}+z\sqrt{\frac{y}{x}}\right)}=\sum{x\left(\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}\right)}\geq 2(x+y+z).$

所以不等式(1)成立,故原不等式獲證.

安振平的4920號不等式問題的證明