題目：已知$a, b, c>0$，求證: $\frac{a}{a^2+b+1}+\frac{b}{b^2+c+1}+\frac{c}{c^2+a+1}\leq 1$.

證明：由柯西不等式可得

$\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c}+\frac{a}{2c+a}=\frac{b^2}{2ab+b^2}+\frac{c^2}{2bc+c^2}+\frac{a^2}{2ca+a^2}\geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)+(a^2+b^2+c^2)}=1$.

所以

$\left(1-\frac{b}{2a+b}\right)+\left(1-\frac{c}{2b+c}\right)+\left(1-\frac{a}{2c+a}\right)\leq 2$,

即

$\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+c}+\frac{c}{2c+a}\leq 1$.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)
又由基本不等式可得

$\frac{a}{a^2+b+1}+\frac{b}{b^2+c+1}+\frac{c}{c^2+a+1}\leq\frac{a}{2a+b}+\frac{b}{2b+c}+\frac{c}{2c+a}$. 　　　　　　　 (2)

由不等式(1)(2)可知原不等式成立.

安振平老師的4961號不等式問題的證明