(高考壓軸題)證明以下命題:
(1)對任意正整數$a$都存在正整數$b,c(b<c)$,使得$a^2,b^2,c^2$成等差數列.
(2)存在無窮多個互不相似的三角形$\Delta_n$,其邊長$a_n,b_n,c_n$為正整數,且$a_n^2,b_n^2,c_n^2$成等差數列

解答:
(1)$2b^2=a^2+c^2$令$x=\dfrac{c}{a},y=\dfrac{b}{a}$ 得$x^2-2y^2=-1$得該不定方程的解$(7,5)$
故對任意正整數$a$存在正整數$b=7a,c=5a$使得$a^2,b^2,c^2$成等差數列.
(2)$a_n^2+c_n^2=2b_n^2$註意到$\left(\dfrac{a_n+c_n}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a_n-c_n}{2}\right)^2=b_n^2$

註:$x^2-2y^2=-1$的解的背景涉及佩爾方程.

MT【315】勾股數