有上下界網絡流學習筆記

1.有（無）源匯有上下界最小費用可行流：算法的核心思想是補流。先判斷原圖是否有源匯，若有則連邊\(t \to s(\infty/0)\)；隨後新建超級源匯\(S\)，\(T\)；然後對於每一條邊\(x \to y\)，連邊\(x \to y(high-low/w)\)；接著對每一個點\(x\)，計\(\delta\)為該點入邊流量下界之和減去該點出邊流量下界之和，如果\(\delta\)為正數，說明接下來有一部分流量要從\(x\)流出，則連邊\(S \to x(\delta/0)\)；若\(\delta\)為負數，說明需要有一部分流量流入\(x\)，則連邊\(x \to T(-\delta/0)\)

例1.Luogu4043 支線劇情

模板題，沒啥好說的。

2.無源匯有上下界可行流：算法的核心是先建出初始流，再通過補充附加流，滿足流量平衡（其實和1是一樣的）。建立附加源匯\(S\)，\(T\)，然後對於每一條邊\(x \to y\)，連邊\(x \to y(high-low)\)；接著對每一個點\(x\)，計\(\delta\)為該點入邊流量下界之和減去該點出邊流量下界之和，如果\(\delta\)為正數，說明接下來有一部分流量要從\(x\)流出，則連邊\(S \to x(\delta)\)；若\(\delta\)為負數，說明需要有一部分流量流入\(x\)

例2.ZOJ2314

仍然是模板題。

3.有源匯有上下界最小/最大流：連邊\(t \to s(\infty)\)，先用2中所述方法求出可行流，然後刪去\(t \to s(\infty)\)，從\(s\)到\(t\)在原來的殘量網絡上增廣即可得到最大流，因為這樣既不破壞流量平衡，又不會不符合上下界，同時最大化了流量；最小流有兩種做法：1.因為反向邊的流量增加就是正向邊的流量減小，最小流是正向邊流量最小化，所以\(s \to t\)

例3.BZOJ2502

還有一些練習題，等我寫了再貼在這吧。

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