Codeforces 809E Surprise me! [莫比烏斯反演]
阿新 • • 發佈：2019-04-02
form ret == count() 級別 cond new noi end
現在思路已經非常清晰了。
其中\(M\)可以很容易求出，只需要求出後面。
洛谷
Codeforces
非常套路的一道題，很適合我在陷入低谷時提升信心……
思路
顯然我們需要大力推式子。
設\(p_{a_i}=i\)，則有
\[
\begin{align*}
n(n-1)ans&=\sum_i \sum_j \varphi(ij)dis(p_i,p_j)\&=\sum_i \sum_j \frac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))} dis(i,j)\&=\sum_d \frac{d}{\varphi(d)} \sum_i\sum_j [\gcd(i,j)=d]\varphi(i)\varphi(j)dis(i,j)\&=\sum_d \frac{d}{\varphi(d)} \sum_{k=1}^{n/d} \mu(k) \sum_{i=1}^{n/dk} \sum_{j=1}^{n/dk} \varphi(idk)\varphi(jdk)dis(p_{idk},p_{jdk})\&=\sum_{T=1}^n (\sum_{d|T} \frac{d\mu(T/d)}{\varphi(d)})\sum_{i=1}^{n/T} \sum_{j=1}^{n/T} \varphi(iT)\varphi(jT)dis(p_{iT},p_{jT})\\end{align*}
\]
現在思路已經非常清晰了。
\(f(T)=\sum_{d|T}\frac{d\mu(T/d)}{\varphi(d)}\)：這顯然可以調和級數\(O(n\log n)\)得到。
現在就是要求
\[
X=\sum_{i\in S} \sum_{j\in S} \varphi(i)\varphi(j)dis(p_i,p_j)
\]
顯然通過調和級數我們發現\(\sum|S|\)是\(O(n\log n)\)級別的。
考慮把\(dis(p_i,p_j)\)拆開，我們得到
\[
\begin{align*}
X&=\sum_{i\in S}\sum_{j\in S} \varphi(i)\varphi(j)(dep_{p_i}+dep_{p_j}-2dep_{lca(p_i,p_j)})\&=M-2\sum_{i\in S}\varphi(i)\sum_{j\in S} \varphi(j)dep_{lca(p_i,p_j)}
\end{align*}
\]
其中\(M\)可以很容易求出，只需要求出後面。
後面其實是個經典套路，可以用大眾化的DP或是用“ [HNOI2015]開店”相同的方法（鏈上加，求到根的距離）做。
由於我是個SB，我選了後者，寫了個樹上差分。
然後各種SB錯誤調了1個小時……
代碼
#include<bits/stdc++.h> clock_t t=clock(); namespace my_std{ using namespace std; #define pii pair<int,int> #define fir first #define sec second #define MP make_pair #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++) #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--) #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt) #define templ template<typename T> #define sz 202020 #define mod 1000000007ll typedef long long ll; typedef double db; mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count()); templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);} templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;} templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;} templ inline void read(T& t) { t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1; while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar(); if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();} t=(f?-t:t); } template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);} char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0; inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;} inline void print(register int x) { if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x; while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10); while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='\n'; } void file() { #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("a.in","r",stdin); #endif } inline void chktime() { #ifndef ONLINE_JUDGE cout<<(clock()-t)/1000.0<<'\n'; #endif } #ifdef mod ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;} ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);} #else ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;} #endif // inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;} } using namespace my_std; int pri[sz],mu[sz],phi[sz],cnt; bool npri[sz]; ll f[sz]; void init() { mu[1]=phi[1]=1; #define x i*pri[j] rep(i,2,sz-1) { if (!npri[i]) pri[++cnt]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1; for (int j=1;j<=cnt&&x<sz;j++) { npri[x]=1; if (i%pri[j]) mu[x]=-mu[i],phi[x]=(pri[j]-1)*phi[i]; else { phi[x]=pri[j]*phi[i]; break; } } } #undef x rep(i,1,sz-1) for (int j=i;j<sz;j+=i) (f[j]+=1ll*i*mu[j/i]*inv(phi[i])%mod)%=mod; } int n; int p[sz]; struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1]; int head[sz],ecnt; void make_edge(int f,int t) { edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]}; head[f]=ecnt; edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]}; head[t]=ecnt; } int fa[sz][30],dep[sz],dfn[sz],c; void dfs(int x,int f) { dep[x]=dep[fa[x][0]=f]+1;dfn[x]=++c; rep(i,1,20) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1]; #define v edge[i].t go(x) if (v!=f) dfs(v,x); #undef v } int lca(int x,int y) { if (dep[x]<dep[y]) swap(x,y); drep(i,20,0) if (fa[x][i]&&dep[fa[x][i]]>=dep[y]) x=fa[x][i]; if (x==y) return x; drep(i,20,0) if (fa[x][i]!=fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i]; return fa[x][0]; } namespace Solve { int m; struct hhh{int id,p;}S[sz]; struct hh{int t,nxt;}edge[sz<<1]; int head[sz],ecnt; void make_edge(int f,int t) { edge[++ecnt]=(hh){t,head[f]}; head[f]=ecnt; edge[++ecnt]=(hh){f,head[t]}; head[t]=ecnt; } int st[sz],top; void insert(int x) { if (top<=1) return void(st[++top]=x); int lca=::lca(x,st[top]); if (lca==st[top]) return void(st[++top]=x); while (top>1) { int q=st[top-1],&p=st[top]; if (dfn[q]==dfn[lca]) { make_edge(q,p); --top; break; } if (dfn[q]<dfn[lca]) { make_edge(lca,p); p=lca; break; } make_edge(p,q),--top; } st[++top]=x; } ll D[sz]; #define v edge[i].t void dfs1(int x,int fa) { go(x) if (v!=fa) dfs1(v,x),(D[x]+=D[v])%=mod; } void dfs2(int x,int fa){go(x) if (v!=fa) dfs2(v,x);D[x]=D[x]*(dep[x]-dep[fa])%mod;} void dfs3(int x,int fa){(D[x]+=D[fa])%=mod;go(x) if (v!=fa) dfs3(v,x);} void del(int x,int fa){D[x]=0;go(x) if (v!=fa) del(v,x);head[x]=0;} #undef v ll solve() { bool flg=0; rep(i,1,m) flg|=(S[i].p==1); if (!flg) S[++m]=(hhh){0,1}; sort(S+1,S+m+1,[](const hhh &x,const hhh &y){return dfn[x.p]<dfn[y.p];}); rep(i,1,m) insert(S[i].p); while (top>1) make_edge(st[top],st[top-1]),--top; top=0; rep(i,1,m) (D[S[i].p]+=phi[S[i].id])%=mod; dfs1(1,0);D[1]=0;dfs2(1,0);dfs3(1,0); ll ret=0; rep(i,1,m) (ret+=phi[S[i].id]*D[S[i].p]%mod)%=mod; rep(i,1,m) S[i]=(hhh){0,0}; del(1,0); ecnt=m=0; return ret; } } ll solve(int T) { ll ret,S1=0,S2=0; for (int i=T;i<=n;i+=T) Solve::S[++Solve::m]=(Solve::hhh){i,p[i]}, (S1+=phi[i])%=mod, (S2+=1ll*(dep[p[i]]-1)*phi[i]%mod)%=mod; ret=S1*S2*2%mod; ll t=Solve::solve(); ret=(ret-2ll*t+mod+mod)%mod; return ret*f[T]%mod; } int main() { file(); init(); read(n); int x,y; rep(i,1,n) read(x),p[x]=i; rep(i,1,n-1) read(x,y),make_edge(x,y); dfs(1,0); ll ans=0; rep(T,1,n) (ans+=solve(T)+mod)%=mod; cout<<ans*inv(1ll*n*(n-1)%mod)%mod; return 0; }
Codeforces 809E Surprise me! [莫比烏斯反演]