清北學堂 DAY1
今天是李昊老師的講授~~
總結了一下今天的內容：
1.高精度算法
（1） 高精度加法
思路：模擬豎式運算
註意：進位
優化：壓位
程序代碼：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
char a1[1000],b1[1000];
int a[1000],b[1000],c[1000];
int main(){
scanf("%s",a1);
int lena=strlen(a1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--)a[lena-i]=a1[i]-‘0‘;
int lenb=strlen(b1);
for(int i=lenb-1;i>=0;i--)b[lenb-i]=b1[i]-‘0‘;
int lenc=max(lena,lenb);
for(int i=1;i<=lenc;i++)c[i]=a[i]+b[i]; //先將每一對應位加起來
for(int i=1;i<=lenc;i++){
c[i+1]+=c[i]/10; //進位
}
while(c[lenc+1]>0) lenc+=1; //如果位數增多，則lenc++
for(int i=lenc;i>0;i--)
cout<<c[i];
return 0;
}
考慮負數的情況：
若只有一個負數，那麽就成為正加數-另一個加數的形式；
若有兩個負數，那麽先算兩個數的絕對值的和，再加上個負號‘-’；
（2） 高精度減法
思路：模擬豎式運算，考慮進位
註意：結果為0的情況
程序代碼：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
char a1[1000],b1[1000];
int a[1000],b[1000],c[1000];
int main(){
scanf("%s",a1);
scanf("%s",b1);
int lena=strlen(a1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--)a[lena-i]=a1[i]-‘0‘;
int lenb=strlen(b1);
for(int i=lenb-1;i>=0;i--)b[lenb-i]=b1[i]-‘0‘;
int lenc=max(lena,lenb);
for(int i=1;i<=lenc;i++)c[i]=a[i]-b[i]; //先將每一對應位都相減，方便借位處理
for(int i=1;i<=lenc;i++){
if(c[i]<0) //若不夠0，就向高位借位+10，高位--
{
c[i]+=10;
c[i+1]--;
}
}
while(c[lenc]==0) lenc--; //除去前導0
for(int i=lenc;i>0;i--)
cout<<c[i];
return 0;
}
考慮負數的情況：
若只有一個負數：
<1>負數-正數 轉化為兩數絕對值相加，然後在前面加個負號‘-’；
<2>正數-負數 轉化為兩數絕對值相加；
若有兩個負數：
轉化為被減數的絕對值-減數的絕對值；
！！！小數減大數de處理方法：
用大數減小數，然後在前面加上負號‘-’；
（3） 高精度乘法
思路：模擬豎式運算，考慮進位
註意：結果為0的情況
程序代碼：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
char a1[1000],b1[1000];
int a[1000],b[1000],c[1000];
int main(){
scanf("%s",a1);
scanf("%s",b1);
int lena=strlen(a1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--)a[lena-i]=a1[i]-‘0‘;
int lenb=strlen(b1);
for(int i=lenb-1;i>=0;i--)b[lenb-i]=b1[i]-‘0‘;
int lenc;
for(int i=1;i<=lena;i++)
for(int j=1;j<=lenb;j++)
c[i+j-1]+=a[i]*b[j]; //對應位相乘
for(int i=1;i<lena+lenb;i++)
{
c[i+1]+=c[i]/10; //進位
c[i]%=10;
}
lenc=lena+lenb-1;
while(c[lenc+1]>0) lenc++; //如果位數增多，lenc++
for(int i=lenc;i>0;i--)
cout<<c[i];
return 0;
}
考慮負數的情況：
若有一個負數： 正常絕對值相乘，前面加負號‘-’；
若有兩個負數： 正常絕對值相乘；
（4） 高精度除法 ——高精除單精
思路：模擬豎式運算
程序代碼：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
char a1[1000];
int a[1000],b[1000],c[1000],b1;
int main(){
scanf("%s",a1);
cin>>b1;
int lena=strlen(a1);
for(int i=lena-1;i>=0;i--)a[lena-i]=a1[i]-‘0‘;
for(int i=lena;i>0;i--){
c[i]=a[i]/b1;
a[i-1]+=(a[i]%b1)*10; 第lena位除以b1後的余數*10+第lena-1位的數繼續除
}
while(c[lena]==0 && lena>0)lena--;
for(int i=lena;i>0;i--)printf("%d",c[i]);
return 0;
}
2.模意義下運算
例：
在模7意義下的運算：
3*3=9≡2 （mod 7）
4+5=9≡2 （mod 7）
4-5=-1≡6 （mod 7）
註意：無除法運算
那碰到除法的怎麽辦呢？？？
假設a*b=t（mod p）：
我們都知道費馬小定理：
如果p是一個質數，而整數a不是p的倍數，則有a^（p-1）≡1（mod p）
t*a^（p-2）≡b （mod p）
t/a≡b （mod p）
so 模意義下/a相當於*a^（p-2）
模意義下運算的性質：
1.滿足基本的交換律，分配率，結合律；
2.對中間結果取模不影響最終答案；
3.快速冪
首先讓我們思考一下怎麽求a^b%p？
有兩種求法：
分治
簡單說一下，就是要求a^b，那麽我們就求a^(b/2)再平方就好啦，求a^(b/2)同理
快速冪
4.費馬小定理
如果p是一個質數，而整數a不是p的倍數，則有a^（p-1）≡1（mod p）
應用：
計算組合數C（n，m）%（10^9+7）
C（n，m）=n!/（（n-m）！*m！）
=n!*（（n-m）！*m！）^（p-2）
=n!*（(（n-m）!)^（p-2）*(m！)^（p-2））
所以我們只要預處理任意n！，（n！）^（p-2）就好了
清北學堂 DAY1