隨機變量，顧名思義，就是具有隨機性的變量。什麽叫有隨機性?中公考研輔導老師將帶領大家從隨機試驗開始看起。

所謂隨機試驗，就是具有如下特征的試驗：“可重復”，“結果不唯一”，“無法預知”(試驗前無法預知哪種結果出現)。如擲硬幣，擲骰子。對於某個隨機試驗，我們把其結果收集起來構成一個集合，這就構成了該試驗的樣本空間。而樣本空間的子集就是隨機事件。所以隨機事件即某些試驗結果構成的集合。概率第一章的基本概念：樣本空間、隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件，均可以理解成特殊的集合(由隨機試驗的結果構成的集合)：全集、子集、全集、空集、單點集。

隨機變量是定義在樣本空間上的單值函數。例如對於擲硬幣這個隨機試驗，其樣本空間為{正，反}，我們可以在這個樣本空間上定義一個隨機變量：X(正)=1，X(反)=0。

關於隨機變量的概念，我們不妨多思考一下，以增進和它的關系。套用一句廣告詞：你怎麽對待隨機變量，隨機變量就怎麽對待你。請思考如下幾個問題：

1. 隨機變量是個函數，這個函數是不是高數中的函數?

不少同學沒有思考過這個問題，那就錯過了深入理解隨機變量的機會。高數中的函數是什麽樣子的?起碼定義域是實數集或實數集的子集。而隨機變量的定義域是樣本空間。這說明二者是不同類型的函數。什麽?函數還有不同類型?有這種疑惑的同學很可能沒有好好看教材，在同濟六版高數教材第6頁，有一小段話，較為透徹地解答了該問題。大家可以通過翻書或聽我嘮叨幾句這兩種方式解決這個問題。ready?go!映射是兩個集合A，B之間的對應關系，考慮非空集合A、B，對於集合A中的任一元素，若集合B中有唯一確定的元素與之對應，我們就把這種對應關系稱為從A到B的映射。如果集合A、B均為實數集或其子集，我們把這個映射稱為函數。如果定義域為一個一般的集合(非實數集或其子集)，那麽我們把這種映射稱為泛函(泛函字面意思為廣義的函數)。理解了這些概念後，我們再來看隨機變量，不難發現它原來是個泛函(怪不得不好理解呢)。泛函的知識考研不要求，不必深究。

2. 隨機變量能否表示隨機事件?

這個問題也有不少同學感到困惑。我們以上面定義的這個隨機變量為例，{X=1}是個隨機事件嗎?是。可以有兩個理解角度：其一，它可以寫成{X=1}={e|X(e)=1}={正}，這是一種反對應：由函數因變量的取值反對應自變量的取值。大家可以體會一下如何用隨機變量表示隨機事件;其二，X有兩種可能的取值0，1，並且以一定的概率取每個值，而可以考慮概率的事件自然是隨機事件了。所以以後見到一個隨機變量，我們不一定要弄清它是如何定義的(有時這是困難的)，只要我們能分析出這個變量有若幹種可能的取值，取每個值有相應的概率即可認可其為隨機變量，進行下一步分析即可。

類似地，{X<=1}也是隨機事件。而且這種方式表示的隨機事件有重要應用。正如深挖群眾提供的貪腐線索有可能揪出大老虎，深入理解基本概念可能會有意想不到的收獲。由{X<=1}為隨機事件，不難得到{X<=a}亦為隨機事件(其中a為給定的實數)。進一步，{X<=x}是隨機事件嗎(x為變量，且不具有隨機性)?給定x，{X<=x}為一個隨機事件;若給定不同的x，就得到不同的隨機事件。如果x的取值範圍是全體實數，我們就得到了一系列的隨機事件。而每個隨機事件又可以與一個概率對應。這樣，對於每個x，有唯一確定的實數與其對應，這就確定了函數關系。這個函數是與X有關的，我們稱其為X的分布函數。是不是有點意外的收獲?

走筆至此，我忍不住要說兩句“形而上”的東西。為什麽有同學感覺課上聽懂了，課下卻不會做題?一個重要的原因是上課是學生跟著老師的思路走，缺少主動探索和“試錯”。我們碰到一道題就像路過一個十字路口，有前後左右四個方向可選，而最終我們會選擇其中一個方向走下去。那為什麽要選這個方向?很多時候，我們要用主動的試錯去減少可能性，用試錯去建立自己的經驗系統，進而依據經驗系統做決策。而這種試錯最好在平時完成(在考場上試錯就“悲劇”了)。

3. 為什麽要引入隨機變量?

隨機變量是把隨機試驗的結果與實數對應起來，方便用數學工具處理。沒有隨機變量的狀態，我們已經見識過了，就在概率的第一章。我們可以考慮隨機事件，但每次說起來和寫起來都不方便：事件中的元素可能是“正”和“反”，也可能是“1點”和“6點”，還可能是“中”和“不中”;相應地算概率可能是P{“正”},可能是P{“擲出偶數點”}，還可能是P{“獨立重復地射擊10次，擊中k次”}。而有了隨機變量後，整個概率的世界就不同了：可以用P{X=1}表示擲硬幣朝上的面為正面，表示擲骰子擲出偶數點，還可以表示射擊命中，只需要修改隨機變量X的定義即可;此外，我們可以進一步定義X的分布函數，那麽高等數學就可以作為一個工具來為概率統計服務了，比如求極限，求導這些基本計算可以對分布函數進行。

第二章 隨機變量及其分布