算法導論課程中，老師在介紹隨機算法的時候提到指示器隨機變量（indicator random variable），感覺很有用的一個東東。

先介紹一下指示器隨機變量。

給定一個樣本空間S和 事件A，那麽事件A對應的指示器隨機變量I{A}=1（如果A發生），0（如果A不發生）；

顯而易見，事件A對應的指示器隨機變量的期望等於事件A發生的概率。

舉一個簡單的例子：連續拋硬幣n次，計算正面朝上的期望次數。

對此,有種顯而易見的解法就是依次計算n次拋硬幣中有1……n個硬幣朝上的概率，然後根據離散型隨機變量期望的定義（要求級數收斂）

求出期望，但是，顯而易見，這樣做工作量是個問題。

下面用指示器隨機變量的思路解決這個問題：

可知:

可見指示器隨機變量極大地簡化了操作。

個人感覺，指示器隨機變量的功用在於將一個大的問題拆分為n個比較簡單的隨機變量之和，然後通過計算這些簡單的隨機變量的數學期望，進而求和得出原問題的數學期望。有點類似分治法的意思。

為了熟練使用指示器隨機變量，下面給出幾個題目。

有n位顧客，他們每個人給餐廳負責保管帽子的服務生一頂帽子。服務生以隨機的順序將帽子歸還給顧客。請問拿到自己帽子的顧客的期望數量是多少？

可以先想想怎麽使用再看答案：

提示：

對於每個顧客而言，拿到自己的帽子的概率為

，

　　2. 假設A[n]為由n個不同的數隨機組成的數組，計算A[n]中逆序對個數的數學期望？

提示：

　　3. R個人在樓的底層進入電梯，樓上有n層，每個乘客在任一樓層下電梯的概率相同。如果到某一層無乘客下電梯則電梯不停，求直到乘客都下完時電梯停車次數的數學期望。

提示：

總結：上面給出的三個典型例子，如果直接用期望定義去做，運算復雜度很高甚至於難以解決，但是，指示器隨機變量的引入使得我們很方便的做出了這些個問題。

轉自: 苯苯吹雪 http://www.cnblogs.com/xubenben/archive/2012/12/18/2823098.html

指示器隨機變量