• 線性篩
  • 埃氏篩
    • 對於每個數x，枚舉其倍數，將kx篩去。
    • 在埃氏篩過程中，每個數都會被篩掉多次，且對於每個數x，枚舉其倍數的次數為\(\frac{n}{x}\)
    • 故埃氏篩的時間復雜度為\(\sum_{i=1}^{n}\)\(\frac{n}{i}\)=n\(\sum_{i=1}^{n}\)\(\frac{1}{i}\)=\(n ln(n)\)
  • 歐拉篩
    • 在埃氏篩中，每個數會被篩掉多次，想要進一步下降復雜度，我們要求每個數只會被篩一次。
    • 要想將多種篩去x的方法固定（唯一）。我們就要采用一種方法—“最小表示法”，套用在這裏就是每個數被自己的最小質因子篩去。
    • 首先，為了優化時間復雜度，我們不難發現，並不需要對每個x，把每個x的所有倍數都篩一遍，只需要將\(pri_k\)
      x，(\(pri_k \leq x\))篩去即可。
      • 證明：
      • 一個數x要被篩去，x必然是合數，x=ab，（a<b<c) ，令a為質數，當我們用b篩時，一定能夠篩去x=ab。
    • 然後我們要求每個數都被自己最小質因數篩去，則當我們用b篩時，設b的最小質因子為\(pri_b\)，對於\(pri_i \leq pri_b\)，我們篩掉\(pri_i b\)就是被自己的最小值因數\(pri_i\)篩去。
• 常見積性函數
  • 歐拉函數（\(\varphi(x)\))
    • \(\varphi(x)\)為積性函數
    • \(\varphi(x)\)的兩種計算式：
      • \(\varphi(x)\) = \(\varphi(a)\)
        . \(\varphi(b)\) (a,b互質)
      • \(\varphi(x)\) = x \(\prod_{i=1}^{k}\) (1-\(\frac{1}{p_i}\))
  • 套用歐拉篩篩法，每個數都被自己最小質因子篩去，就有兩種情況：
    • 該數最小質因子pri的次數為1，即x=pri\(\sum_{i=2}^{k}pi^{ri}\)
      • 直接套用積性函數的定義式\(\varphi(x)\) = \(\varphi(pri).\varphi(\) \(\frac{x}{pri})\) (pri與\(\frac{x}{pri}\)互質)
    • 該數最小質因子pri的次數>1，即x= \(pri^{r_1} * \sum_{i=2}^{k} pi^{ri}\)
      • 由\(\varphi(x)\)的定義式知\(\varphi(x) = x \prod_{i=1}^{k} (1- \frac{1}{pi})\)
      • \(\frac{x}{pri}\)與x沒有增加額外的質因子
      • 所以 \(\varphi(x) = pri * \frac{x}{pri} \prod_{i=1}^{k}(1- \frac{1}{pi})\) = \(pri *\varphi (\frac{x}{pri})\)
  • 代碼
• 莫比烏斯函數\(\mu(x)\)
  • \(\mu(x)\)定義式: \(\mu(x)\) = {}
  • \(\mu(x)\) =\(\mu(a)\)*\(\mu(b)\) (a,b互質)
  • 套用歐拉篩篩法
    • 當該數最小質因子pri，次數為1，同\(\varphi(x)\), \(\mu(x)\) =\(\mu(pri)\) . $\mu( $ \(\frac{x}{pri}\))
    • 當該數最小質因子pri，次數>1， \(\mu(x)\) = 0

線性篩及其擴展-積性函數