n) play amp inline 固定 gcd math clas 卷積

積性函數

數論函數指的是定義在正整數集上的實或復函數.
積性函數指的是當 \((a,b)=1\) 時, 滿足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的數論函數.
完全積性函數指的是在任何情況下, 滿足 \(f(a*b)=f(a)*f(b)\) 的數論函數.

常見的積性函數

φ(n) －歐拉φ函數，計算與n互質的正整數之數目
μ(n) －默比烏斯函數，關於非平方數的質因子數目
gcd(n,k) －最大公因數，當k固定的情況
{\sigma {k}} \sigma {k}(n): 除數函數，n的所有正因數的k次冪之和，當中k可為任何復數。在特例中有：
{\displaystyle \sigma {0}} \sigma_0(n) = d(n) - n的正因數數目

{\displaystyle \sigma {1}} \sigma _{1}(n) = {\displaystyle \sigma } \sigma (n) - n的所有正因數之和
1(n) －不變的函數，定義為 1(n)=1 （完全積性）
Id(n) －單位函數，定義為 Id(n)=n （完全積性）
Idk(n) －冪函數，對於任何復數、實數k，定義為Idk(n) = nk （完全積性）
Id0(n) = 1(n) 及
Id1(n) = Id(n)
ε(n) －定義為：若n = 1，ε(n)=1；若n > 1，ε(n)=0。有時稱為“對於狄利克雷卷積的乘法單位”（完全積性）
(n/p) －勒讓德符號，p是固定質數（完全積性）
λ(n) －劉維爾函數，關於能整除n的質因子的數目
γ(n)，定義為γ(n)=(-1)ω(n)，在此加性函數ω(n)是不同能整除n的質數的數目
所有狄利克雷特征均是完全積性的

[模板] 積性函數 && 杜教篩