題目描述

　　飛鏢遊戲雖好玩，但小老虎不忘考考同學的數學能力，為了好玩和不大難，小老虎想就用5個阿拉伯數吧。1、2、3、4、5數字組成一個N位的數（可以重復使用，也可以不用），有多少個數I，滿足Imod3=1。

輸入格式

　　一行，為1個整數N。

輸出格式

　　一個數，即滿足要求的數的個數mod100007。

輸入樣例

4

輸出樣例

208

數據規模

　　對於30%的數據，N≤8；

　　對於100%的數據，N≤1000000。

題解

　　相信大家小學都學過。一個數$mod 3$等於這個數的各位數字之和$mod 3$。

　　假設我們已經得到了一個$i$位的滿足題目要求的數，這個時候，我們在$i+1$為添加$3$，一定還能滿足題目要求。

　　但是，如果不添加$3$呢？

　　這裏我們可以列舉出來：

　　(1)當第$i$位為$1$時，我們可以改成$[2,2],[2,5],[3,1],[3,4],[5,2],[5,5]$（這裏$[x,y]$表示第$i$位改成$x$，第$i+1$位添上$y$，下同）。共$6$種情況。

　　(2)當第$i$位為$2$時，我們可以改成$[1,1],[1,4],[3,2],[3,5],[4,1],[4,4]$。共$6$種情況。

　　(3)當第$i$位為$3$時，我們可以改成$[1,2],[1,5],[2,1],[2,4],[4,2],[4,5],[5,1],[5,4]$。共$8$種情況。

　　(4)當第$i$位為$4$時，我們可以改成$[2,2],[2,5],[3,1],[3,4],[5,2],[5,5]$。共$6$種情況。

　　(5)當第$i$位為$5$時，我們可以改成$[1,1],[1,4],[3,2],[3,5],[4,1],[4,4]$。共$6$種情況。

　　觀察(1)(2)與(4)(5)其實是一樣的，那我們將數量除以$2$即可。

　　我們可以設$c[i][0]$為第$i$位為$3$的符合題目要求的數量，$c[i][1]$為第$i$位不為$3$的符合題目要求的數量。

　　根據上面的方程可得，$c[i][0] = c[i - 1][0] + c[i - 1][1], c[i][1] = c[i - 1][0] \times 8 + c[i - 1][1] \times 3$。這裏可以用滾動數組優化。

#include <iostream>
#define
 
 MOD 100007

using namespace std;

int n;
int prev[2], now[2]; //最高位為3或不為3的符合條件的情況

int main()
{
    cin >> n;
    now[1] = 2;
    while(--n)
    {
        prev[0] = now[0];
        prev[1] = now[1];
        now[0] = (prev[0] + prev[1]) % MOD;
        now[1] = (prev[0] * 8 + prev[1] * 3) % MOD;
    }
    cout << (now[0] + now[1]) % MOD;
    

【題解】老虎的數字遊戲