Noip2016換教室
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Simple Description:
牛牛有$n$節課要上,每個時段都有$2$個教室在上課(具體來說是第$c[i]$與第$d[i]$個教室),牛牛在其中的一個教室上課,牛牛起初每節課分別被安排在$c[i](i=1..n)$節教室上課,他可以提出申請到教室$d[i]$上課,申請通過的概率為$pi$。牛牛最多能申請m次。題目給出一些聯通教室的路徑和通過路徑要花費的體力值。求牛牛耗費體力值的總和的最小期望值。
(希望我說清楚了)
Solution:
數學期望+DP
求最值啊就會想到DP的啊,而且這題看起來很DP。
狀態
也很容易想,$f[i][j]$表示現在到第i節課,已經申請了m次的最小期望值。然後就會發現不好轉移...一般套路就是再加一維表示上一節課是否申請了。於是,最終是:
$f[i][j][0/1]$表示現在到第i節課,已經申請了m次,上一次課沒申請/申請了的最小期望值
轉移方程
設$i,j$之間的最短路為$dis[i][j]$(這裏初始化一下)
這節沒申請($f[i][j][0]$)
上節也沒申請,這種情況乘的概率就是百分百啊:
f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]
上節申請了,分申請通過和沒通過兩種情況,分別乘上自己的概率:
f[i][j][0]=f[i-1][j] [1]+dis[d[i-1] ][c[i]]*p[i-1]+ dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i-1])
綜合起來取小:
f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]],f[i-1][j][1]+dis[d[i-1]][c[i]]*p[i-1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i-1])
這節申請了($f[i][j][1]$)
上節沒申請:
f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]]*p[i]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i])
上節申請了:
f[i][j][1]=f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][d[i]]*p[i-1]*p[i]+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-p[i-1])*p[i]+dis[d[i-1]][c[i]]*p[i-1]*(1-p[i])+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i-1]*(1-p[i]))
綜合起來取小:
f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]]*p[i]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i]),f[i-1][j-1][1]+dis[d[i-1]][d[i]]*p[i-1]*p[i]+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-p[i-1])*p[i]+dis[d[i-1]][c[i]]*p[i-1]*(1-p[i])+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i-1]*(1-p[i]))
Code!
#include<iostream> #include<cstdio> #define Rg register #define il inline #define db double #define inf 200000001 #define int long long #define go(i,a,b) for(Rg int i=a;i<=b;i++) #define yes(i,a,b) for(Rg int i=a;i>=b;i--) using namespace std; il int read() { int x=0,y=1;char c=getchar(); while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)y=-1;c=getchar();} while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=(x<<3)+(x<<1)+c-‘0‘;c=getchar();} return x*y; } const int N=2001,M=301; int m,n,v,e,c[N],d[N],dis[M][M]; db f[N][N][2],p[N],ans=inf; void Read() { n=read(),m=read(),v=read(),e=read(); go(i,1,v) go(j,1,v)if(i!=j)dis[i][j]=inf; go(i,1,n)c[i]=read(); go(i,1,n)d[i]=read(); go(i,1,n)scanf("%lf",&p[i]); go(i,1,e){int x=read(),y=read();dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],read());} } void Floyed() { go(k,1,v) go(j,1,v) go(i,1,j) if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])dis[i][j]=dis[j][i]=dis[i][k]+dis[k][j]; } main() { Read();Floyed(); go(i,0,n) go(j,0,n)f[i][j][0]=f[i][j][1]=f[j][i][0]=f[j][i][1]=inf; f[1][0][0]=f[1][1][1]=0; go(i,2,n) { int maxn=min(i,m); go(j,0,maxn) { f[i][j][0]=min((db)(f[i-1][j][0]+dis[c[i-1]][c[i]]),(db)(f[i-1][j][1]+dis[d[i-1]][c[i]]*p[i-1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i-1]))); if(j>0)f[i][j][1]=min((db)(f[i-1][j-1][0]+dis[c[i-1]][d[i]]*p[i]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i])),(db)(f[i-1][j-1][1]+dis[c[i-1]][c[i]]*(1-p[i-1])*(1-p[i])+dis[c[i-1]][d[i]]*(1-p[i-1])*p[i]+dis[d[i-1]][c[i]]*(1-p[i])*p[i-1]+dis[d[i-1]][d[i]]*p[i-1]*p[i])); } } go(i,0,m)ans=min(min(f[n][i][0],f[n][i][1]),ans); printf("%.2lf",ans); return 0; }View Code
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