問題

在一個圓環上隨機取3點，求這3個點組成一個銳角三角形的概率

題解

如下圖所示：

取單位圓上任意兩點點A和B，A、B兩點確定以後，點A、B、C三點要夠成銳角三角形，點C必須在DE之間，否在將構成直角三角形（點C與點D或點E重合）或鈍角三角形。設AB弧所對應的圓心角為\(\theta\),則當且僅當\(\theta \in (0, \pi)\) 時有可能構成銳角三角形。\(\theta\) 的概率密度是 \(\frac{1}{\pi}\)，此時組成銳角三角形需要C點在AB對應的DE段間的概率是 \(\frac{\theta}{2\pi}\)。故在一個圓環上隨機添加3點，三個點組成一個銳角三角形的概率為

Python 代碼模擬

#! /usr/bin/env python3
# -*- coding: utf-8 -*-

# @Author: wzdnzd

import numpy as np


def simulate(n):
    # 圓心角θ所對應的弦長 l = 2 * R * sin(θ/2), R為圓的半徑
    def compute(theta):
        if theta > np.pi:
            theta = 2 * np.pi - theta

        return 2 * np.sin(theta / 2)

    # 根據三角形三條邊的平方關系判斷是否是銳角、直角或鈍角三角形
    def judge(array):
        if len(array) != 3:
            raise ValueError('len(array) must be 3.')

        if array[0] ** 2 + array[1] ** 2 > array[2] ** 2:
            return -1
        elif array[0] ** 2 + array[1] ** 2 == array[2] ** 2:
            return 0
        else:
            return 1

    acute, right, obtuse = 0, 0, 0
    for _ in range(n):
        angles = sorted(np.random.rand(3) * 2 * np.pi)
        chords = sorted([compute(angles[1] - angles[0]),
                         compute(angles[2] - angles[1]), 
                         compute(2 * np.pi + angles[0] - angles[2])])

        flag = judge(chords)
        if flag == -1:
            acute += 1
        elif flag == 0:
            right += 1
        else:
            obtuse += 1

    return [x / n for x in [acute, right, obtuse]]


if __name__ == "__main__":
    probabilities = simulate(100000)
    print('acute: {}\tright: {}\tobtuse: {}'.format(
        probabilities[0], probabilities[1], probabilities[2]))
 

運行結果如下：

acute: 0.25009  right: 0.0      obtuse: 0.74991

數理統計 - 圓環上隨機取3個點組成一個銳角三角形的概率