Google 的兩位創始人都是斯坦福大學的博士生，他們提出的 PageRank 演算法受到了論文影響力因子的評價啟發。當一篇論文被引用的次數越多，證明這篇論文的影響力越大。正是這個想法解決了當時網頁檢索質量不高的問題。

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一、 PageRank 的簡化模型

我們先來看下 PageRank 是如何計算的。

我假設一共有 4 個網頁 A、B、C、D。它們之間的連結資訊如圖所示：

這裡有兩個概念你需要了解一下。

出鏈指的是連結出去的連結。入鏈指的是連結進來的連結。比如圖中 A 有 2 個入鏈，3 個出鏈。

簡單來說，一個網頁的影響力 = 所有入鏈集合的頁面的加權影響力之和，用公式表示為：

u 為待評估的頁面， B_{u} 為頁面 u 的入鏈集合。針對入鏈集合中的任意頁面 v，它能給 u 帶來的影響力是其自身的影響力 PR(v) 除以 v 頁面的出鏈數量，即頁面 v 把影響力 PR(v) 平均分配給了它的出鏈，這樣統計所有能給 u 帶來連結的頁面 v，得到的總和就是網頁 u 的影響力，即為 PR(u)。

所以你能看到，出鏈會給被連結的頁面賦予影響力，當我們統計了一個網頁鏈出去的數量，也就是統計了這個網頁的跳轉概率。

在這個例子中，你能看到 A 有三個出鏈分別連結到了 B、C、D 上。那麼當用戶訪問 A 的時候，就有跳轉到 B、C 或者 D 的可能性，跳轉概率均為 1/3。

B 有兩個出鏈，連結到了 A 和 D 上，跳轉概率為 1/2。

這樣，我們可以得到 A、B、C、D 這四個網頁的轉移矩陣 M：

我們假設 A、B、C、D 四個頁面的初始影響力都是相同的，即：

當進行第一次轉移之後，各頁面的影響力 w_{1} 變為：

然後我們再用轉移矩陣乘以 w_{1} 得到 w_{2} 結果，直到第 n 次迭代後 w_{n} 影響力不再發生變化，可以收斂到 (0.3333，0.2222，0.2222，0.2222），也就是對應著 A、B、C、D 四個頁面最終平衡狀態下的影響力。

你能看出 A 頁面相比於其他頁面來說權重更大，也就是 PR 值更高。而 B、C、D 頁面的 PR 值相等。

至此，我們模擬了一個簡化的 PageRank 的計算過程，實際情況會比這個複雜，可能會面臨兩個問題：

1. 等級洩露（Rank Leak）：如果一個網頁沒有出鏈，就像是一個黑洞一樣，吸收了其他網頁的影響力而不釋放，最終會導致其他網頁的 PR 值為 0。

2. 等級沉沒（Rank Sink）：如果一個網頁只有出鏈，沒有入鏈（如下圖所示），計算的過程迭代下來，會導致這個網頁的 PR 值為 0（也就是不存在公式中的 V）。

針對等級洩露和等級沉沒的情況，我們需要靈活處理。

比如針對等級洩露的情況，我們可以把沒有出鏈的節點，先從圖中去掉，等計算完所有節點的 PR 值之後，再加上該節點進行計算。不過這種方法會導致新的等級洩露的節點的產生，所以工作量還是很大的。

有沒有一種方法，可以同時解決等級洩露和等級沉沒這兩個問題呢？

二、 PageRank 的隨機瀏覽模型

為了解決簡化模型中存在的等級洩露和等級沉沒的問題，拉里·佩奇提出了 PageRank 的隨機瀏覽模型。他假設了這樣一個場景：使用者並不都是按照跳轉連結的方式來上網，還有一種可能是不論當前處於哪個頁面，都有概率訪問到其他任意的頁面，比如說使用者就是要直接輸入網址訪問其他頁面，雖然這個概率比較小。

所以他定義了阻尼因子 d，這個因子代表了使用者按照跳轉連結來上網的概率，通常可以取一個固定值 0.85，而 1-d=0.15 則代表了使用者不是通過跳轉連結的方式來訪問網頁的，比如直接輸入網址。

其中 N 為網頁總數，這樣我們又可以重新迭代網頁的權重計算了，因為加入了阻尼因子 d，一定程度上解決了等級洩露和等級沉沒的問題。

通過數學定理（這裡不進行講解）也可以證明，最終 PageRank 隨機瀏覽模型是可以收斂的，也就是可以得到一個穩定正常的 PR 值。

三、 PageRank 在社交影響力評估中的應用

網頁之間會形成一個網路，是我們的網際網路，論文之間也存在著相互引用的關係，可以說我們所處的環境就是各種網路的集合。

只要是有網路的地方，就存在出鏈和入鏈，就會有 PR 權重的計算，也就可以運用我們今天講的 PageRank 演算法。

我們可以把 PageRank 演算法延展到社交網路領域中。比如在微博上，如果我們想要計算某個人的影響力，該怎麼做呢？

一個人的微博粉絲數並不一定等於他的實際影響力。如果按照 PageRank 演算法，還需要看這些粉絲的質量如何。如果有很多明星或者大 V 關注，那麼這個人的影響力一定很高。如果粉絲是通過購買殭屍粉得來的，那麼即使粉絲數再多，影響力也不高。

同樣，在工作場景中，比如說脈脈這個社交軟體，它計算的就是個人在職場的影響力。如果你的工作關係是李開復、江南春這樣的名人，那麼你的職場影響力一定會很高。反之，如果你是個學生，在職場上被鏈入的關係比較少的話，職場影響力就會比較低。

同樣，如果你想要看一個公司的經營能力，也可以看這家公司都和哪些公司有合作。如果它合作的都是世界 500 強企業，那麼這個公司在行業內一定是領導者，如果這個公司的客戶都是小客戶，即使數量比較多，業內影響力也不一定大。

除非像淘寶一樣，有海量的中小客戶，最後大客戶也會找上門來尋求合作。所以權重高的節點，往往會有一些權重同樣很高的節點在進行合作。

四、 如何使用工具實現 PageRank 演算法

PageRank 演算法工具在 sklearn 中並不存在，我們需要找到新的工具包。實際上有一個關於圖論和網路建模的工具叫 NetworkX，它是用 Python 語言開發的工具，內建了常用的圖與網路分析演算法，可以方便我們進行網路資料分析。

上節課，我舉了一個網頁權重的例子，假設一共有 4 個網頁 A、B、C、D，它們之間的連結資訊如圖所示：

針對這個例子，我們看下用 NetworkX 如何計算 A、B、C、D 四個網頁的 PR 值，具體程式碼如下：

 1 import networkx as nx
 2 
 3 # 建立有向圖
 4 
 5 G = nx.DiGraph()
 6 
 7 # 有向圖之間邊的關係
 8 
 9 edges = [("A", "B"), ("A", "C"), ("A", "D"), ("B", "A"), ("B", "D"), ("C", "A"), ("D", "B"), ("D", "C")]
10 
11 for edge in edges:
12 
13     G.add_edge(edge[0], edge[1])
14 
15 pagerank_list = nx.pagerank(G, alpha=1)
16 
17 print("pagerank 值是：", pagerank_list)

NetworkX 工具把中間的計算細節都已經封裝起來了，我們直接呼叫 PageRank 函式就可以得到結果：

1 pagerank 值是： {'A': 0.33333396911621094, 'B': 0.22222201029459634, 'C': 0.22222201029459634, 'D': 0.22222201029459634}

好了，執行完這個例子之後，我們來看下 NetworkX 工具都有哪些常用的操作。

1. 關於圖的建立

圖可以分為無向圖和有向圖，在 NetworkX 中分別採用不同的函式進行建立。無向圖指的是不用節點之間的邊的方向，使用 nx.Graph() 進行建立；有向圖指的是節點之間的邊是有方向的，使用 nx.DiGraph() 來建立。在上面這個例子中，存在 A→D 的邊，但不存在 D→A 的邊。

2.關於節點的增加、刪除和查詢

如果想在網路中增加節點，可以使用 G.add_node(‘A’) 新增一個節點，也可以使用 G.add_nodes_from([‘B’,‘C’,‘D’,‘E’]) 新增節點集合。如果想要刪除節點，可以使用 G.remove_node(node) 刪除一個指定的節點，也可以使用 G.remove_nodes_from([‘B’,‘C’,‘D’,‘E’]) 刪除集合中的節點。

那麼該如何查詢節點呢？

如果你想要得到圖中所有的節點，就可以使用 G.nodes()，也可以用 G.number_of_nodes() 得到圖中節點的個數。

3. 關於邊的增加、刪除、查詢

增加邊與新增節點的方式相同，使用 G.add_edge(“A”, “B”) 新增指定的“從 A 到 B”的邊，也可以使用 add_edges_from 函式從邊集合中新增。我們也可以做一個加權圖，也就是說邊是帶有權重的，使用 add_weighted_edges_from 函式從帶有權重的邊的集合中新增。在這個函式的引數中接收的是 1 個或多個三元組 [u,v,w] 作為引數，u、v、w 分別代表起點、終點和權重。

另外，我們可以使用 remove_edge 函式和 remove_edges_from 函式刪除指定邊和從邊集合中刪除。

另外可以使用 edges() 函式訪問圖中所有的邊，使用 number_of_edges() 函式得到圖中邊的個數。

以上是關於圖的基本操作，如果我們建立了一個圖，並且對節點和邊進行了設定，就可以找到其中有影響力的節點，原理就是通過 PageRank 演算法，使用 nx.pagerank(G) 這個函式，函式中的引數 G 代表建立好的圖。

五、 如何用 PageRank 揭祕希拉里郵件中的人物關係

瞭解了 NetworkX 工具的基礎使用之後，我們來看一個實際的案例：希拉里郵件人物關係分析。

希拉里郵件事件相信你也有耳聞，對這個資料的背景我們就不做介紹了。你可以從 GitHub 上下載這個資料集： https://github.com/cystanford/PageRank

整個資料集由三個檔案組成：Aliases.csv，Emails.csv 和 Persons.csv，其中 Emails 檔案記錄了所有公開郵件的內容，傳送者和接收者的資訊。Persons 這個檔案統計了郵件中所有人物的姓名及對應的 ID。因為姓名存在別名的情況，為了將郵件中的人物進行統一，我們還需要用 Aliases 檔案來查詢別名和人物的對應關係。

整個資料集包括了 9306 封郵件和 513 個人名，資料集還是比較大的。不過這一次我們不需要對郵件的內容進行分析，只需要通過郵件中的傳送者和接收者（對應 Emails.csv 檔案中的 MetadataFrom 和 MetadataTo 欄位）來繪製整個關係網路。因為涉及到的人物很多，因此我們需要通過 PageRank 演算法計算每個人物在郵件關係網路中的權重，最後篩選出來最有價值的人物來進行關係網路圖的繪製。

瞭解了資料集和專案背景之後，我們來設計到執行的流程步驟：

首先我們需要載入資料來源；

在準備階段：我們需要對資料進行探索，在資料清洗過程中，因為郵件中存在別名的情況，因此我們需要統一人物名稱。另外郵件的正文並不在我們考慮的範圍內，只統計郵件中的傳送者和接收者，因此我們篩選 MetadataFrom 和 MetadataTo 這兩個欄位作為特徵。同時，傳送者和接收者可能存在多次郵件往來，需要設定權重來統計兩人郵件往來的次數。次數越多代表這個邊（從傳送者到接收者的邊）的權重越高；

在挖掘階段：我們主要是對已經設定好的網路圖進行 PR 值的計算，但郵件中的人物有 500 多人，有些人的權重可能不高，我們需要篩選 PR 值高的人物，繪製出他們之間的往來關係。在視覺化的過程中，我們可以通過節點的 PR 值來繪製節點的大小，PR 值越大，節點的繪製尺寸越大。

設定好流程之後，實現的程式碼如下：

  1 # -*- coding: utf-8 -*-
  2 
  3 # 用 PageRank 挖掘希拉里郵件中的重要任務關係
  4 
  5 import pandas as pd
  6 
  7 import networkx as nx
  8 
  9 import numpy as np
 10 
 11 from collections import defaultdict
 12 
 13 import matplotlib.pyplot as plt
 14 
 15 # 資料載入
 16 
 17 emails = pd.read_csv("./input/Emails.csv")
 18 
 19 # 讀取別名檔案
 20 
 21 file = pd.read_csv("./input/Aliases.csv")
 22 
 23 aliases = {}
 24 
 25 for index, row in file.iterrows():
 26 
 27     aliases[row['Alias']] = row['PersonId']
 28 
 29 # 讀取人名檔案
 30 
 31 file = pd.read_csv("./input/Persons.csv")
 32 
 33 persons = {}
 34 
 35 for index, row in file.iterrows():
 36 
 37     persons[row['Id']] = row['Name']
 38 
 39 # 針對別名進行轉換        
 40 
 41 def unify_name(name):
 42 
 43     # 姓名統一小寫
 44 
 45     name = str(name).lower()
 46 
 47     # 去掉, 和 @後面的內容
 48 
 49     name = name.replace(",","").split("@")[0]
 50 
 51     # 別名轉換
 52 
 53     if name in aliases.keys():
 54 
 55         return persons[aliases[name]]
 56 
 57     return name
 58 
 59 # 畫網路圖
 60 
 61 def show_graph(graph, layout='spring_layout'):
 62 
 63     # 使用 Spring Layout 佈局，類似中心放射狀
 64 
 65     if layout == 'circular_layout':
 66 
 67         positions=nx.circular_layout(graph)
 68 
 69     else:
 70 
 71         positions=nx.spring_layout(graph)
 72 
 73     # 設定網路圖中的節點大小，大小與 pagerank 值相關，因為 pagerank 值很小所以需要 *20000
 74 
 75     nodesize = [x['pagerank']*20000 for v,x in graph.nodes(data=True)]
 76 
 77     # 設定網路圖中的邊長度
 78 
 79     edgesize = [np.sqrt(e[2]['weight']) for e in graph.edges(data=True)]
 80 
 81     # 繪製節點
 82 
 83     nx.draw_networkx_nodes(graph, positions, node_size=nodesize, alpha=0.4)
 84 
 85     # 繪製邊
 86 
 87     nx.draw_networkx_edges(graph, positions, edge_size=edgesize, alpha=0.2)
 88 
 89     # 繪製節點的 label
 90 
 91     nx.draw_networkx_labels(graph, positions, font_size=10)
 92 
 93     # 輸出希拉里郵件中的所有人物關係圖
 94 
 95     plt.show()
 96 
 97 # 將寄件人和收件人的姓名進行規範化
 98 
 99 emails.MetadataFrom = emails.MetadataFrom.apply(unify_name)
100 
101 emails.MetadataTo = emails.MetadataTo.apply(unify_name)
102 
103 # 設定遍的權重等於發郵件的次數
104 
105 edges_weights_temp = defaultdict(list)
106 
107 for row in zip(emails.MetadataFrom, emails.MetadataTo, emails.RawText):
108 
109     temp = (row[0], row[1])
110 
111     if temp not in edges_weights_temp:
112 
113         edges_weights_temp[temp] = 1
114 
115     else:
116 
117         edges_weights_temp[temp] = edges_weights_temp[temp] + 1
118 
119 # 轉化格式 (from, to), weight => from, to, weight
120 
121 edges_weights = [(key[0], key[1], val) for key, val in edges_weights_temp.items()]
122 
123 # 建立一個有向圖
124 
125 graph = nx.DiGraph()
126 
127 # 設定有向圖中的路徑及權重 (from, to, weight)
128 
129 graph.add_weighted_edges_from(edges_weights)
130 
131 # 計算每個節點（人）的 PR 值，並作為節點的 pagerank 屬性
132 
133 pagerank = nx.pagerank(graph)
134 
135 # 將 pagerank 數值作為節點的屬性
136 
137 nx.set_node_attributes(graph, name = 'pagerank', values=pagerank)
138 
139 # 畫網路圖
140 
141 show_graph(graph)
142 
143  
144 
145 # 將完整的圖譜進行精簡
146 
147 # 設定 PR 值的閾值，篩選大於閾值的重要核心節點
148 
149 pagerank_threshold = 0.005
150 
151 # 複製一份計算好的網路圖
152 
153 small_graph = graph.copy()
154 
155 # 剪掉 PR 值小於 pagerank_threshold 的節點
156 
157 for n, p_rank in graph.nodes(data=True):
158 
159     if p_rank['pagerank'] < pagerank_threshold:
160 
161         small_graph.remove_node(n)
162 
163 # 畫網路圖, 採用 circular_layout 佈局讓篩選出來的點組成一個圓
164 
165 show_graph(small_graph, 'circular_layout')

執行結果如下：

針對程式碼中的幾個模組我做個簡單的說明：

1. 函式定義

人物的名稱需要統一，因此我設定了 unify_name 函式，同時設定了 show_graph 函式將網路圖視覺化。NetworkX 提供了多種視覺化佈局，這裡我使用 spring_layout 佈局，也就是呈中心放射狀。

除了 spring_layout 外，NetworkX 還有另外三種視覺化佈局，circular_layout（在一個圓環上均勻分佈節點），random_layout（隨機分佈節點 ），shell_layout（節點都在同心圓上）。

2. 計算邊權重

郵件的傳送者和接收者的郵件往來可能不止一次，我們需要用兩者之間郵件往來的次數計算這兩者之間邊的權重，所以我用 edges_weights_temp 陣列儲存權重。而上面介紹過在 NetworkX 中新增權重邊（即使用 add_weighted_edges_from 函式）的時候，接受的是 u、v、w 的三元陣列，因此我們還需要對格式進行轉換，具體轉換方式見程式碼。

3.PR 值計算及篩選

我使用 nx.pagerank(graph) 計算了節點的 PR 值。由於節點數量很多，我們設定了 PR 值閾值，即 pagerank_threshold=0.005，然後遍歷節點，刪除小於 PR 值閾值的節點，形成新的圖 small_graph，最後對 small_graph 進行視覺化（對應執行結果的第二張圖）。

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