排序演算法——分治思想與歸併排序

1、分治法思想

分治思想主要通過遞迴來實現，每層遞迴中主要包括三個步驟：

分解：即將原問題劃分為若干子問題，子問題的形式要保證和原問題一致，但規模更小。
解決：當劃分子問題的規模足夠小時，停止遞迴，求解子問題，獲取子問題的解決結果並返回給上一層。
合併：將子問題的解決結果進行合併，得到原問題的解。

也就是說，分治思想就是將一個大問題用過遞迴層層分解為無數個子問題，這些子問題要保證與與原問題是一個型別，只不過規模更小更加容易求解，但求解過程相同。

2、歸併排序演算法思想

1、思考：如果給了我們兩個已經做好排序的陣列（相同排序規則）A和B，我們該如何將其合併到一個有序陣列C？

這個問題很簡單，依次從兩個陣列中取元素比較然後放進C中即可。而如果A、B陣列都只有一個元素時，他們都成為了一個有序陣列，則可以直接進行比較放在陣列C中，返回有序的陣列C。

2、通過分治思想對無序陣列排序問題進行劃分：對於一個無序的陣列array

（1）分解：通過遞迴將無序陣列進行劃分，每次從array.length/2處劃分為兩個陣列，直到劃分後的子陣列規模為1。

（2）解決：當子陣列規模為1時，此時的最小規模陣列已經自動變為一個有序陣列，遞迴終止返回有序陣列結果。

（3）合併：接收下一層遞迴所返回的兩個有序子陣列，將這兩個有序子陣列的資料進行合併為一個新的有序陣列，然後返回該有序陣列給上一層遞迴。

3、排序例項：為方便理解遞迴劃分陣列，可以建立一個遞迴樹形圖（理解遞迴比較方便）。以陣列int[] arr = {3,23,4,13,4,5,63,6,2}為例，其陣列劃分樹形圖為

那麼接下來就是將葉子節點已經排序好的陣列返回給上一層遞迴，在上一層中處理合並一個新的有序陣列再返回給上一層，重複該步驟直到根節點層就可以將原陣列變為一個有序陣列。

也就是說，歸併演算法中遞迴呼叫的方法主要為兩部分，分別是分割陣列以及數組合（將兩個有序陣列進行合併）。虛擬碼如下

merge(int[] arr){
    if(arr.length < 2){
        return arr;//如果傳入的陣列長度為1那麼就直接返回
    }
    int[] left = splitLeft(arr);//劃分獲取左子陣列
    int[] right = spliteRight(arr);//劃分獲取右子陣列
    
    left = merge(left);//遞迴呼叫，獲得排序後的左子陣列
    right = merge(right);//遞迴呼叫，獲得排序後的右子陣列
    
    arr = sort(left,right);//將左右有序子數組合併為一個有序陣列
    return arr;//返回
}

具體程式碼實現（個人寫的依據演算法邏輯思想寫的一個示例，劃分左右子陣列都是新建立陣列進行賦值，空間複雜度很高，而且提高了時間複雜度，但是主要是便於理解）

個人實現：

/**
 * 
 * @Description:分治演算法，利用遞迴，將一個數組元素不斷的分割為兩個陣列，直到陣列分割到只剩下一個元素
 * 然後返回給上一層，主要是保證返回給上一層中的兩個陣列是已經排好序的陣列，在上一層中進行排序合併，然後再返回
 * 就可以最終得到一個有序陣列
 */
public class Sort {
    public static int[] merge(int[] arr){
        
        int left = 0;
        int right = arr.length;
        if (right == 1) {
            int[] endArr = {arr[left]};
            return endArr;
        }
        
        //陣列劃分
        int mid = (left + right) / 2;
        int[] leftArr = new int[mid-left];
        int[] rightArr = new int[right - mid];
        for (int i = 0; i <= mid-1; i++) {
            leftArr[i] = arr[i];
        }
        for (int i = 0,j=mid; i < rightArr.length && j < arr.length; i++,j++) {
            rightArr[i] = arr[j];
        }
        
        //遞迴呼叫，獲取排序完成的左右子陣列
        leftArr = merge(leftArr);
        rightArr = merge(rightArr);
        
        //合併兩個陣列並排序
        return sort(arr, leftArr, rightArr);
    }
    public static int[] sort(int[] arr, int[] left, int[] right){
        int i = 0;
        int j = 0;
        for (int index = 0; index < arr.length; index++){
            if (i >= left.length && j < right.length) {
                arr[index] = right[j];
                j++;
                continue;
            }
            if (j >= right.length && i < left.length) {
                arr[index] = left[i];
                i++;
                continue;
            }
            if (left[i] > right[j]){
                arr[index] = right[j];
                j++; 
            } else {
                arr[index] = left[i];
                i++;
            }
        }
        return arr;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {3,23,4,13,4,5,63,6,2};
        for(int i:merge(arr)) {
            System.out.println(i);
        }
    }
}

較好的實現：

public class Solution {
    /*
     * @param A:an integer array
     * @return:
     */
    public voidsortIntegers2(int[] A) {
        // writeyour code here
        //利用歸併排序對陣列A進行排序
       mergeSort(A,0,A.length-1);
    }
    //歸併排序
    public void mergeSort(int[] A,int start,int end){
       if(start>=end) return;
        int middle= (start+end)/2;
       mergeSort(A,start,middle);
       mergeSort(A,middle+1,end);
        //歸併排序需要分配的臨時陣列
        //這是歸併排序的核心
        int []temp  = new int[end-start+1];
        inti=start;
        int j =middle+1;
        intindex=0;
       while(i<=middle&&j<=end){
           if(A[i]<=A[j]){
               temp[index++] = A[i++];
            }else{
               temp[index++] = A[j++];
            }
        }
       while(i<=middle){
           temp[index++] =A[i++];
        }
       while(j<=end){
           temp[index++] =A[j++];
        }
        i=start;
        index = 0;
       for(;i<=end;i++){
            A[i] =temp[index++];
        }
    }
}

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