題目一

計算十進位制數字在二進位制表示 1 的個數

舉個例子:

• 十進位制數字為 1 時，它的二進位制表示是 001，二進位制表示 1 的個數為 1；
• 十進位制數字為 2 時，它的二進位制表示是 010，二進位制表示 1 的個數為 1；
• 十進位制數字為 3 時，它的二進位制表示是 011，二進位制表示 1 的個數為 2；
• 十進位制數字為 4 時，它的二進位制表示是 100，二進位制表示 1 的個數為 1；
• 十進位制數字為 5 時，它的二進位制表示是 101，二進位制表示 1 的個數為 2；
• 十進位制數字為 6 時，它的二進位制表示是 110，二進位制表示 1 的個數為 2；
• 十進位制數字為 7 時，它的二進位制表示是 111，二進位制表示 1 的個數為 3；

時間複雜度 O(logn) 的解法

對於這個題目比較容易想到的是如下程式碼：

int count = 0;

while(n != 0)
{
    if(n % 2 == 1)
    {
        count++;
    }
    
    n = n >> 1;
}

上述程式碼主要做了兩個步驟：

• n % 2 表示對數字求模運算，也就是計算二進位制的末尾是 1 還是 0，如果二進位制的末尾是 1 ，則 count 自增，count 表示的是二進位制表示 1 的個數；
• n = n >> 1 表示把二進位制往右移走一位，比如十進位制數字 7 的二進位制表示是 111 ，那麼通過右移一位後，則變成 011。

這個解決方式雖然能計算出二進位制表示 1 的個數，但是我們可以發現這個解法的時間複雜度是 O(logn)，比如當 n 為 7 時，它的二進位制表示是 111，那麼它將會迴圈 3 次，也就是非常接近 log 以 2 為底 7 的對數的值。

題目二

程式讀入一個整數 n，假設 n 不會大於 1000，請輸出 1 到 n 每個數字的二進位制表示 1 的個數。

時間複雜度 O(nlogn) 的解法

可能有的小夥伴說，這題目二還不簡單？直接把上面的解法，增加個 for 迴圈不就得了。

int main() 
{
    int i, j, n, count;
    
    scanf("%d", &n);
    
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        j = i;
        count = 0;
        
        while(j != 0)
        {
            if(j % 2 == 1)
            {
                count++;
            }
    
            j = j >> 1;
        }
        
        printf("number:%d, count:%d\n", i, count);
    }

    return 0;
}
 

假設輸入 7，則輸出結果：

number:1, count:1
number:2, count:1
number:3, count:2
number:4, count:1
number:5, count:2
number:6, count:2
number:7, count:3
number:8, count:1

沒錯，用上述的解法增加個 for 迴圈，確實可以解決題目二的要求，這值得鼓勵，但是程式的時間複雜度是時間複雜度 O(nlogn) ，執行效率不高，所以我們必須要有種精神，就是要用時間複雜度最少的方式去解決演算法的問題，這樣才能一次一次的進步。

時間複雜度 O(n) 的解法

請先觀察下面的位運算性質：

y = x & (x - 1)

我們看到，x 和與 x -1 這兩個數字做按位與運算，所以我們要以二進位制的角度去思考這個問題。

比如：

• 假設 x 是 3，它的二進位制是 011；
• 那麼 x - 1 就是 2，它的二進位制是 010；
• x & (x - 1) 運算後的二進位制就是 010。

那麼 x & (x - 1) 實際效果等效於去掉 x 二進位制表示中的最後一位 1，從而我們發現原來 y 變數與 x 變數在二進位制表示中，只差一個 1。

如果我們用一個數組 f 記錄相應數字二進位制表示中 1 的數量，那麼 f[i] 陣列存放的值是 i 這個數字二進位制表示中 1 的數量，從而我們可以推導得到 f[i] = f[i & (i - 1)] + 1，也就是說 i 數字比 i & (i - 1) 數字的二進位制表示中的 1 的數量要多一個，這樣我們通過一步計算就得到 f[i] 的結果，也就是相應數字二進位制表示中 1 的數量結果。

程式碼如下：

int main() 
{
    int n,i;
    int f[1001];
    
    f[0] = 0;
    
    scanf("%d", &n);

    for(i = 1; i <= n; i++) 
    {
        f[i] = f[i & (i - 1)] + 1;
    }
    
    for(i = 1; i <= n; i++) 
    {
        printf("%d ", f[i]);
    }
    printf("\n");
    
    return 0;
}

這個程式的過程如下：

• 首先先讀入一個整數 n，代表要求解的範圍;
• 然後迴圈 n 次，每一次通過 f[i] = f[i & (i - 1)] + 1 計算得到 f[i] 的值，也就是數字的二進位制表示 1 的個數;
• 最後輸出 1 到 n 中每個數字二進位制表示中 1 的個數。

針對這個解法，程式的時間複雜度是 O(n)