LeetCode.509——斐波那契數
問題描述：
斐波那契數，通常用 F(n) 表示，形成的序列稱為斐波那契數列。該數列由 0 和 1 開始，後面的每一項數字都是前面兩項數字的和。也就是：
F(0) = 0, F(1) = 1 F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.給定 N，計算 F(N)。
示例 ：
輸入：2 輸出：1 解釋：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1.問題分析：
由於計算任何一個第n(n >= 2)項的數都需要知道其前面兩個數，即需要知道n-1和n-2是多少，然後兩個相加得到結果，但是問題來了，要知道n-1，就要需要知道n-2，要知道n-2就需要知道n-3，會一直這樣的迴圈遞迴下去，一直到第一個數，第二個，第三個.......再反推回來。 那就很明顯了，大家第一時間想到的方法便是遞迴，就下來實現一下：
方法一：遞迴實現
public class Solution { public int fib(int n) { if(n <= 1){ return n; } return fib(n-1) + fib(n-2); } }
問題分析：
先看一下遞迴圖：
由於很多數的計算都要重複很多次，效率並不高，時間複雜度達到了 O（2^n），是斐波那契數計算中 時間複雜度最大，最不可取的方法。
空間複雜度：O（n）,堆疊中需要的空間與 N 成正比，堆疊會跟蹤 fib(n) 的呼叫，隨著堆疊的不斷增長 如果沒有足夠的記憶體則會出現StackOverflowError異常。
注：定義為int型時，最大隻能求到n = 46，f(46) = 1836311903, 而 f(47) = -1323752223,因為超出了int 型數值的最大範圍。
演算法改進：
使用遞迴的同時，使用記憶化方式儲存已經計算過的資料，減少不必要的重複計算，可以使時間複雜度降到 O(N),同時空間複雜度也是O(N)。具體的實現是使用一個數組，把每次計算過的值都儲存進去，當再次使用這個數的時候，直接返回，不需要再進行遞迴。
方法二：記憶化自底向上遞迴
public class Solution { public int fib(int n) { if(n <= 1){ return n; } int[] memo = new int[n+1]; memo[1] = 1; for(int i = 2;i <= n; i++){ //自底向上填充陣列，一直到需要的那個數 memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2]; } return memo[n]; } }
最後：
限於水平有限，斐波那契數的實現還有很多種方法，不能一一列舉，當其中大部分都有類似的思想。
水文中如有不準確或是錯誤之處，還望指出。謝謝~~~
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