1. 連續有理系統

1.1 系統函式

　　很多物理模型的系統都可以表示為式（1）的線性常微分方程，它顯然是一個LIT系統。後面將會看到，這樣的系統實現簡單，卻可以滿足複雜的需求。需要注意的是，從系統角度，\(x(t),y(t)\)分別是輸入、輸出；但從方程角度，這裡\(t\)是變數，\(x(t)\)為確定的函式，\(y(t)\)則是待求的變數。而且我們知道（回顧常微分方程），這個方程由特解\(y_0(t)\)和齊次解組成（式（2），如果\(z_0\)是\(\sum_{k=0}^n b_kz^k=0\)的\(r\)重根，那麼\(e^{z_0t},te^{z_0t},\cdots,t^{r-1}e^{z_0t}\)都是齊次解）。它有無窮多組解，即可以代表無窮多個系統。

\[\sum_{k=0}^ma_kx^{(k)}(t)=\sum_{k=0}^nb_ky^{(k)}(t)\tag{1}\]

\[y(t)=y_0(t)+\sum_{i=1}^nc_ie_i(t),\;\;\sum_{k=0}^nb_ke_i^{(k)}(t)=0\tag{2}\]

　　然而，現實中的系統往往滿足初始鬆弛條件：如果\(t<t_0\)時\(x(t)=0\)，那麼\(t<t_0\)時也有\(y(t)=0\)。這個條件其實暗含了系統的因果性，且由\(y^{(n)}(t)\)的存在性（以及所有式子非奇異），可知\(y(t)\)滿足邊界條件\(y(t_0)=y'_t(t_0)=\cdots=y_t^{(n-1)}(t_0)=0\)，這個邊界條件可以確定式（2）的唯一解。滿足式（1）和初始鬆弛的系統，可以認為是唯一的，下面就是分析它的特性。如果想知道系統的單位衝激響應，需把\(x(t)=\delta(t)\)帶入方程，然而對奇異函式的求解是十分困難的。

　　時域上暫時無法分析，下面轉向\(s\)域（頻域），來看看系統函式\(H(s)\)。記\(x(t),y(t)\)的\(s\)域係數是\(X(s),Y(s)\)，根據微分性質計算式（1）的\(s\)域係數，整理後便有系統函式式（3），它是一個實數域的分式，這樣的系統稱為有理系統。我們知道，分式可以分解為一階分式和二階分式之和，結合ROC便能得知系統的單位衝激響應。然而在沒有初始鬆弛的限定時，分式並不能確定唯一系統。

\[H(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{\sum_{k=0}^ma^ks^k}{\sum_{k=0}^nb^ks^k}\tag{3}\]

　　分式在分母為\(0\)時無意義，所以它在分母的根上一定不收斂，這些值稱為分式的極點。其實，通過繁雜的論證（使用分式分解）可以知道，極點就是有理系統ROC的天然邊界。特別地，因果有理系統的ROC是右平面，且以右平面為ROC的有理系統也必然是因果的。還有就是，有理因果系統穩定的充要條件是：所有極點的實部都是負數。

1.2 一階、二階系統

　　這裡簡單討論一下一階、二階微分方程\(b_0y(t)+b_1y'(t)+b_2y''(t)=x(t)\)所代表的因果系統。為了簡化討論，先將系統增益縮為\(1/b_0\)使得\(y(t)\)的係數為\(1\)，再進行頻域的伸縮將\(y''(t)\)或\(y'(t)\)的係數也化為\(1\)。得到的標準式如式（4）所示（只考慮穩定系統，故最高次係數為正），可以先討論標準系統的特徵，再考慮頻域的縮放對原系統的影響。

\[y'(t)+y(t)=x(t);\;\;y''(t)+2\zeta y'(t)+y(t)=x(t)\tag{4}\]

　　先看一階系統，它的頻率響應為\(\dfrac{1}{1+j\omega}\)，單位衝激響應為\(e^{-t}u(t)\)。Bode圖上（圖見上一篇）的分貝數為\(-10\log_{10}(1+\omega^2)\)，當\(\omega\to 0\)時趨於\(0\)，當\(\omega\to\infty\)時趨於\(-20\log_{10}\omega\)。在對數尺度上它們是兩條直線，相交點\(\omega=1\)稱為轉折頻率，此處與原值有最大偏差3dB。Bode圖上的相移，當\(\omega\to 0\)時趨於\(0\)，當\(\omega\to\infty\)時趨於\(-\pi/2\)，在\(\omega\in[0.1,10]\)上也有近似直線。這個例子就體現了Bode圖的優勢。

　　再看二階系統，其頻譜響應為\(\dfrac{1}{(j\omega)^2+2\zeta(j\omega)+1}\)，也是一個近似低通濾波，請自行討論其Bode圖的性質。\(\zeta>0\)稱為阻尼係數，當\(\zeta>1\)時可以拆分為兩個一階系統之和，它稱為過阻尼的。當\(\zeta<1\)時為一般的二階系統，前面知道，它的單位衝激響應有波動和超量（含正弦函式），稱為是欠阻尼的。而\(\zeta=1\)時為一階二次系統，稱為臨界阻尼，它比過阻尼系統有更快的響應速度，又沒有欠阻尼系統的波動和超量。

2. 離散有理系統

2.1 系統函式

　　離散訊號也有類似的有理系統，它一般表示為式（5）的常係數差分方程，它也是LIT系統。這個方程的解也可以表示為特解和齊次解的線性和（式（6）），如果\(z_0\)是\(\sum_{k=0}^Nb_kz^{N-k}=0\)的\(r\)重根，則\(z_0^n,nz_0^n,\cdots,n^{r-1}z_0^n\)都是齊次解。現實中的系統還要滿足初始鬆弛條件：如果\(n<n_0\)時\(x[n]=0\)，那麼\(n<n_0\)時\(y[n]=0\)。初始鬆弛了確保了系統的因果性，而且確定了唯一的輸出訊號，因為式（5）可以看成是遞迴方程\(y[n]=\cdots\)。當\(N=0\)時方程是非遞迴的，這時可以直接寫出單位脈衝響應（式（7），根據脈衝響應的累加性），它是一個有限脈衝響應系統（FIR）。

\[\sum_{k=0}^Ma_kx[n-k]=\sum_{k=0}^Nb_ky[n-k]\tag{5}\]

\[y[n]=y_0[n]+\sum_{i=1}^nc_ie_i[n],\;\;\sum_{k=0}^nb_ke_i[n-k]=0\tag{6}\]

\[y[n]=\sum_{k=0}^Ma_kx[n-k]\;\Rightarrow\;h[n]=a_n,\;(0\leqslant n\leqslant M)\tag{7}\]

　　接著利用LT的時移性質，不難得到系統函式為式（8），仍然可以把它看成關於\(z^{-1}\)的分式。分式的極點其實就是多項式\(\sum_{k=0}^Nb_kz^{N-k}\)的根，可以證明極點是有理系統ROC的天然邊界。特別地，因果有理系統的ROC是一個圓外區域，且以圓外區域為ROC的有理系統也必然是因果的。還有有理因果系統穩定的充要條件是：所有極點都在單位圓內。這些性質都與連續系統相對應。

\[H(z)=\dfrac{Y(z)}{X(z)}=\dfrac{\sum_{k=0}^Ma_kz^{-k}}{\sum_{k=0}^Nb_kz^{-k}}\tag{8}\]

　　有了系統函式，便可以將它分解為多個一階、二階系統之和，也就能得到單位脈衝響應。另外根據\(\delta[n-n_0]\overset{Z}{\leftrightarrow}z^{-n_0}\)可知，如果系統函式能寫成式（9）左，則可以直接寫出單擊脈衝響應（式（9）右）。回看式（7）便有了另外一種解釋，對於其它系統函式（不限於有理系統），也可以通過泰勒級數得到式（9）左的格式。
\[H(s)=\sum_{k\in\Bbb{Z}} a_kz^{-k}\;\;\Rightarrow\;\;h[n]=a_n\tag{9}\]

2.2 一階、二階系統

　　現在簡單討論一下一階、二階差分方程所代表的系統，由於頻域的縮放不同於連續系統，這裡的標準式僅將\(b_0\)統一為\(1\)。一階系統（式（10））的頻率響應為\(\dfrac{1}{1-ae^{-j\omega}}\)，單位脈衝響應為\(a^nu[n]\)（只討論穩定的因果系統），其中\(0<|a|<1\)。\(a>0\)時表現為一個低通濾波，\(a\to 1\)時往低頻集中；\(a<0\)時則表現為一個高通濾波，但它有震盪和超量。

\[y[n]-ay[n-1]=x[n]\tag{10}\]

　　二階差分有標準式（11），其中\(0<r<1,0\leqslant\theta\leqslant\pi/2\)，它是一個低通濾波，\(r\to 1\)時往低頻集中。這裡只討論穩定的因果系統，且不討論過阻尼系統（可分解為兩個一階系統之和）。當\(\theta>0\)時，系統的單位脈衝響應是式（12），它是一個欠阻尼系統，有震盪和超量（\(\theta\to\pi/2\)時震盪加劇、但過渡帶變窄）。當\(\theta=0\)時，系統的單位脈衝響應是式（12）的極限，它是一個臨界阻尼系統，沒有震盪和超量。

\[y[n]-2r\cos\theta y[n-1]+r^2y[n-2]=x[n]\tag{11}\]

\[h[n]=\dfrac{\sin\,(n+1)\theta}{\sin\theta}r^nu[n]\tag{12}\]

3. 線性反饋系統

3.1 線性反饋系統

　　為了實現有理系統，這裡需要展開討論一下反饋系統的概念和性質，限定在LIT中也叫線性反饋系統。反饋系統可以根據之前的輸出調整輸入訊號，以修改後續的輸出結果，它有較強的糾錯性和抗干擾性。典型的反饋系統如圖所示，其中LIT系統\(H(s)\)和\(G(s)\)所在的分別叫正向通路和反饋通路，整個構成一個閉環系統，沒有反饋通路的系統也叫開環系統。

　　根據\(R(s)=X(s)+G(s)Y(s)\)和\(Y(s)=H(s)R(s)\)，可有式（13）成立，也就是說整個閉環系統還是LIT系統，且其系統函式為\(Q(s)\)（一般假定為因果系統）。\(Q(s)\)的分式形式會為系統設計帶來很大的發揮空間，這裡簡單舉幾個例子。比如式（14）是\(P(s)\)的近似逆系統；式（15）利用穩定的衰減器\(K\)得到一個穩定的放大器，其中普通放大器\(H(s)\)是不穩定的。

\[Q(s)=\dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{H(s)}{1-G(s)H(s)}\tag{13}\]

\[\dfrac{K}{1+KP(s)}\approx\dfrac{1}{P(s)},\;\;(K\gg 1)\tag{14}\]

\[\dfrac{H(s)}{1+KH(s)}\approx\dfrac{1}{K},\;\;(|KH(s)|\gg 1)\tag{15}\]

　　反饋系統另一種廣泛的應用是調節穩定性。比如一階系統\(H(s)=\dfrac{1}{s-a}\)，加上常數反饋\(K\)便得到可調節系統\(\dfrac{1}{s-a-K}\)。二階系統\(\dfrac{1}{s^2+as+b}\)需要同時調節一次項和常數項，也只需加上反饋\(K_1s+K_2\)，其中\(s\)是微分系統。對離散一階系統\(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\)，可以使用時移反饋\(Kz^{-1}\)使其變成可調節系統\(\dfrac{1}{1-(a+K)z^{-1}}\)。

3.2 穩定性判定-根軌跡法

　　穩定性在系統設計中，往往是首先要滿足的，而穩定性的判定就變得尤為重要。在閉環系統中，一般會給\(H(s\)或\(G(s)\)設定一個可調係數，使得系統分母為\(1-KG(s)H(s)\)。系統穩定的充要條件是，式（16）的根不出現在虛軸及其右半平面上，這裡把\(D(s)\)與\(K\)分隔開來，是為了分析過程不受\(K\)的影響。記\(D(s)\)分子、分母中較高的次數為\(N\)，則式（16）有\(N\)個根（可能有重根，對特殊\(K\)也許少於\(N\)）。另外我們有理由相信，隨著\(K\)從\(-\infty\)到\(+\infty\)連續變化，這\(N\)個根的軌跡一定也是連續的。

\[D(s)=G(s)H(s)=\dfrac{1}{K}\tag{16}\]

　　觀察根的軌跡、以判定系統穩定性的方法，就叫根軌跡法。對於簡單的分式\(D(s)\)（次數小且只有一階因式），其實是可以根據分式特點描述出精確的根軌跡的。首先易知，當\(K\to 0\)時根趨向於\(D(s)\)的極點，而\(K\to\infty\)時根趨向於\(D(s)\)的零點。可以想象，每一個極點、零點都是根軌跡的端點；如果把根軌跡按\(K\)的正負分為兩個分支，則每個分支都起於零點而終於極點。然後易知實數軸上的每一點都在根軌跡上，而且被\(2N\)個極點、零點分隔為\(2N\)段（兩個無窮大視為同一個點，重根之間視長度為\(0\)），\(D(s)\)在每一段的值正負交替（最右段為正）。

　　接下來看實軸上的分段與根軌跡分支的關係。如果分段的兩端分別為極點、零點，那麼這個分段一定是根軌跡的一個分支。否則分段的兩端是兩個分支的端點（包括重根處），這兩個分支在分段上的某一點分道揚鑣，進入到實軸外的複平面。而實軸之外的根軌跡一定是以實軸對稱的，故兩個分支走向相反的反向。當然，出走的分支終會和另一個符號相同、端點互異的分支銜接，極點、零點的成對性可以保證這一點。至於實軸外根軌跡的形狀，我無力做深入討論，除了二次式的結論比較好證明：如果有兩個外出點（自行計算），它們之間的半圓弧就是根軌跡；如果一個點是無窮，根軌跡就是一條垂直平分線。

3.3 穩定性判定-Nyquist判據

　　根軌跡法只能適用於簡單的分式，而且難以將軌跡與具體的\(K\)值相對應。如果有計算機輔助，對具體的\(K\)值，是可以求解式（6）的根的。但這個方法又缺少對動態的\(K\)的討論，而本段介紹的奈奎斯特（Nyquist）判據就可以跟蹤\(K\)值做穩定性判斷（需要計算機輔助）。

　　先來複習一下復變分式\(D(s)\)的性質，它的輻角是所有分子因式\(s-\alpha_i\)的輻角和、減去所有分母因式\(s-\beta_j\)的輻角和。當\(s\)沿某個閉環（單環）順時針繞轉一週時，對不在閉環內的極點、零點，因式的輻角恢復原值；但對在閉環內的極點、零點，因式的輻角分別增加、減少了\(2\pi\)；而對閉環上的點則比較複雜，需要單獨討論、或事先排除這種情況。複變函式的輻角變化\(2\pi\)的整數倍，雖然不影響函式值，但在連續性討論中（值的軌跡、微分）至關重要。設閉環內有\(P\)個零點、\(Q\)個極點，可知\(D(s)\)輻角總共減少了\(2(P-Q)\pi\)，即值的軌跡繞原點順時針旋轉了\(P-Q\)圈。

　　有了這個結論，下面繼續討論式\(1-KD(s)\)或\(F(s)=D(s)-1/K\)的零點分佈。這裡不考慮\(K=0\)的特殊情況，以及要求\(D(s)\)分母的階不小於分子的階，這樣\(F(s)\)的零點都是有窮的（極點就是\(D(s)\)的極點，也是有窮的）。構造一個如圖所示的閉環，當直徑足夠大後，它能包含右半平面所有的極點\(N_p^+\)和零點\(N_0^+\)。而直徑趨於無窮時，圓弧上趨於定值，\(F(s)\)的軌跡長度在這裡也趨於\(0\)，所以\(F(s)\)軌跡最終等價於\(F(j\omega)\)的軌跡。

　　藉助計算機畫出\(D(j\omega)\)的軌跡，它繞\((1/K,0)\)順時針旋轉的次數\(N_c\)，其實就是\(F(j\omega)\)繞原點順時針旋轉的次數。如果\((1/K,0)\)在\(D(j\omega)\)的軌跡上，說明\(F(j\omega)\)在虛軸有零點，系統不穩定。否則有關係式\(N_c=N_0^+-N_p^+\)，系統穩定的充要條件是\(N_0^+=0\)即\(N_c=-N_p^+\)，描述成\(D(j\omega)\)的軌跡繞\((1/K,0)\)逆時針旋轉的次數，應當等於右半平面的極點數。順便說一句，\(N_c\)當然也能表示左半平面零點極點的關係，但由於總的零點極點數相等，其實並不會有新鮮的結論。

　　可以看到，把\(D(s)\)和\(K\)分割開來，可以跟蹤動態\(K\)對系統穩定性的影響，而且\(D(j\omega)\)與\((1/K,0)\)的距離也能表示系統允許的波動範圍，這個距離稱為系統的穩定性裕度。還有至於離散系統，把虛軸對映成單位圓，即有系統穩定的充要條件是：\(D(e^{j\omega})\)在\(\omega\in[0,2\pi]\)上的軌跡繞\((1/K,0)\)逆時針旋轉的次數，應當等於單位圓外的極點數。

3.4 有理系統的框圖

　　有理系統不僅功能強大，而且實現簡單，本節使用框圖來表示有理系統。首先，理論上任何分式都可以分解為簡單分式（多項式）的和或者積，只要先構造出簡單有理系統，通過級聯、並聯總可以構造出任何有理系統的框圖。然而實際使用中，還要考慮器件的可靠程度和複用程度，比如微分器就沒有積分器簡易穩定。為了說明問題，先從最簡單的一階分式系統\(1/(s-a)\)討論起。結合反饋系統的式（13）、以及儘量使用積分器\(1/s\)，可設\(H(s)=1/s,\;G(s)=a\)。

　　這個框圖還有另外一種解釋，為此來看系統的微分方程\(y'(t)-ay(t)=x(t)\)，並改寫成\(x(t)+ay(t)=y'(t)\)。\(ay(t)\)是\(y(t)\)放大後的反饋，且與\(x(t)\)合併後做為正向通路的輸入。再看正向通路輸入\(y'(t)\)、輸出\(y(t)\)，\(H(s)\)自然應當是積分器\(1/s\)。這種視角可以擴充套件到任何分式\(\dfrac{1}{f(s)},\;f(s)=s^n-a_1s^{n-1}-\cdots-a_n\)，正向通路上是\(n\)個積分器，第\(k\)個積分器的輸出放大\(a_k\)倍後反饋到輸入訊號。

　　對於一般分式\(\dfrac{g(s)}{f(s)}\)，只需看成兩個系統級聯\(\dfrac{1}{f(s)}\cdot g(s)\)。其中多項式\(g(s)\)可直接由微分器和放大器組成，然而利用微分器和積分器的互相抵消，可直接從\(\dfrac{1}{f(s)}\)的積分器後引出所需訊號。圖示是分式\(\dfrac{s^2+3s+5}{s^2-2s-4}\)的系統框圖，這樣的圖稱為直接型框圖。

　　最後來看離散系統，所有的分析都很類似，但還是要注意方程不同帶來的框圖差異。比如分式\(\dfrac{1}{1-az^{-1}}\)所代表的系統\(y[n]-ay[n-1]=x[n]\)，輸出\(y[n]\)移位放大後的\(ay[n-1]\)，反饋給\(x[n]\)後又直接輸出為\(y[n]\) 。這將導致離散系統直接型框圖的一些差異，圖示為分式\(\dfrac{1+3z^{-1}+5z^{-2}}{1-2z^{-1}-4z^{-2}}\)的系統框圖（\(z^{-1}\)為移位操作），與差分方程的對應關係還是很直觀的。

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