JavaScript實現樹結構（一）
阿新 • • 發佈：2020-03-09
## JavaScript實現樹結構（一）
### 一、樹結構簡介
#### 1.1.簡單瞭解樹結構
**什麼是樹？**
真實的樹：
**樹的特點：**
* 樹一般都有一個**根**，連線著根的是**樹幹**；
* 樹幹會發生分叉，形成許多**樹枝**，樹枝會繼續分化成更小的**樹枝**；
* 樹枝的最後是**葉子**；
現實生活中很多結構都是樹的抽象，模擬的樹結構相當於旋轉`180°`的樹。
**樹結構對比於陣列/連結串列/雜湊表有哪些優勢呢：**
**陣列：**
* 優點：可以通過**下標值訪問**，效率高；
* 缺點：查詢資料時需要先對資料進行**排序**，生成**有序陣列**，才能提高查詢效率；並且在插入和刪除元素時，需要大量的**位移操作**；
**連結串列：**
* 優點：資料的插入和刪除操作效率都很高；
* 缺點：**查詢**效率低，需要從頭開始依次查詢，直到找到目標資料為止；當需要在連結串列中間位置插入或刪除資料時，插入或刪除的效率都不高。
**雜湊表：**
* 優點：雜湊表的插入/查詢/刪除效率都非常高；
* 缺點：**空間利用率不高**，底層使用的陣列中很多單元沒有被利用；並且雜湊表中的元素是**無序**的，不能按照固定順序遍歷雜湊表中的元素；而且不能快速找出雜湊表中**最大值或最小值**這些特殊值。
**樹結構：**
優點：樹結構綜合了上述三種結構的優點，同時也彌補了它們存在的缺點（雖然效率不一定都比它們高），比如樹結構中資料都是有序的，查詢效率高；空間利用率高；並且可以快速獲取最大值和最小值等。
總的來說：**每種資料結構都有自己特定的應用場景**
**樹結構：**
* **樹（Tree）**:由 n（n ≥ 0）個節點構成的**有限集合**。當 n = 0 時，稱為**空樹**。
對於任一棵非空樹（n > 0），它具備以下性質：
* 數中有一個稱為**根（Root）**的特殊節點，用 **r **表示；
* 其餘節點可分為 m（m > 0）個互不相交的有限集合 T~1~，T~2~，...，T~m~，其中每個集合本身又是一棵樹，稱為原來樹的**子樹（SubTree）**。
**樹的常用術語：**
* **節點的度（Degree）**：節點的**子樹個數**，比如節點B的度為2；
* **樹的度**：樹的所有節點中**最大的度數**，如上圖樹的度為2；
* **葉節點（Leaf）**：**度為0的節點**（也稱為葉子節點），如上圖的H，I等；
* **父節點（Parent）**：度不為0的節點稱為父節點，如上圖節點B是節點D和E的父節點；
* **子節點（Child）**：若B是D的父節點，那麼D就是B的子節點；
* **兄弟節點（Sibling）**：具有同一父節點的各節點彼此是兄弟節點，比如上圖的B和C，D和E互為兄弟節點；
* **路徑和路徑長度**：路徑指的是一個節點到另一節點的通道，路徑所包含邊的個數稱為路徑長度，比如A->H的路徑長度為3；
* **節點的層次（Level）**：規定**根節點在1層**，其他任一節點的層數是其父節點的**層數加1**。如B和C節點的層次為2；
* **樹的深度（Depth）**：樹種所有節點中的**最大層次**是這棵樹的深度，如上圖樹的深度為4；
#### 1.2.樹結構的表示方式
* **最普通的表示方法**：
如圖，樹結構的組成方式類似於連結串列，都是由一個個節點連線構成。不過，根據每個父節點子節點數量的不同，每一個父節點需要的引用數量也不同。比如節點A需要3個引用，分別指向子節點B，C，D；B節點需要2個引用，分別指向子節點E和F；K節點由於沒有子節點，所以不需要引用。
這種方法缺點在於我們無法確定某一結點的引用數。
* **兒子-兄弟表示法**：
這種表示方法可以完整地記錄每個節點的資料，比如：
```
//節點A
Node{
//儲存資料
this.data = data
//統一隻記錄左邊的子節點
this.leftChild = B
//統一隻記錄右邊的第一個兄弟節點
this.rightSibling = null
}
//節點B
Node{
this.data = data
this.leftChild = E
this.rightSibling = C
}
//節點F
Node{
this.data = data
this.leftChild = null
this.rightSibling = null
}
```
這種表示法的優點在於每一個節點中引用的數量都是確定的。
* **兒子-兄弟表示法旋轉**
以下為兒子-兄弟表示法組成的樹結構：
將其順時針旋轉45°之後：
這樣就成為了一棵**二叉樹**，由此我們可以得出結論：**任何樹都可以通過二叉樹進行模擬**。但是這樣父節點不是變了嗎？其實，父節點的設定只是為了方便指向子節點，在程式碼實現中誰是父節點並沒有關係，只要能正確找到對應節點即可。
### 二、二叉樹
#### 2.1.二叉樹簡介
**二叉樹的概念**：如果樹中的每一個節點最多隻能由**兩個子節點**，這樣的樹就稱為**二叉樹**；
二叉樹十分重要，不僅僅是因為簡單，更是因為幾乎所有的樹都可以表示成二叉樹形式。
**二叉樹的組成**：
* 二叉樹可以為空，也就是沒有節點；
* 若二叉樹不為空，則它由根節點和稱為其左子樹TL和右子樹TR的兩個不相交的二叉樹組成；
**二叉樹的五種形態**：
上圖分別表示：空的二叉樹、只有一個節點的二叉樹、只有左子樹TL的二叉樹、只有右子樹TR的二叉樹和有左右兩個子樹的二叉樹。
**二叉樹的特性**：
* 一個二叉樹的第 i 層的最大節點樹為：2^(i-1)^，i >= 1；
* 深度為k的二叉樹的最大節點總數為：2^k^ - 1 ，k >= 1；
* 對任何非空二叉樹，若 n~0~ 表示葉子節點的個數，n~2~表示度為2的非葉子節點個數，那麼兩者滿足關係：n~0~ = n~2~ + 1；如下圖所示：H，E，I，J，G為葉子節點，總數為5；A，B，C，F為度為2的非葉子節點，總數為4；滿足n~0~ = n~2~ + 1的規律。
#### 2.2.特殊的二叉樹
**完美二叉樹**
完美二叉樹（Perfect Binary Tree）也成為滿二叉樹（Full Binary Tree），在二叉樹中，除了最下一層的葉子節點外，每層節點都有2個子節點，這就構成了完美二叉樹。
**完全二叉樹**
完全二叉樹（Complete Binary Tree）:
* 除了二叉樹最後一層外，其他各層的節點數都達到了最大值；
* 並且，最後一層的葉子節點從左向右是連續存在，只缺失右側若干葉子節點；
* 完美二叉樹是特殊的完全二叉樹；
在上圖中，由於H缺失了右子節點，所以它不是完全二叉樹。
#### 2.3.二叉樹的資料儲存
常見的二叉樹儲存方式為**陣列**和**連結串列**：
**使用陣列：**
* **完全二叉樹**：按從上到下，從左到右的方式儲存資料。
| 節點 | A | B | C | D | E | F | G | H |
| -------- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- |
| **序號** | **1** | **2** | **3** | **4** | **5** | **6** | **7** | **8** |
使用陣列儲存時，取資料的時候也十分方便：左子節點的序號等於父節點序號 * 2，右子節點的序號等於父節點序號 * 2 + 1 。
* **非完全二叉樹**：非完全二叉樹需要轉換成完全二叉樹才能按照上面的方案儲存，這樣會浪費很大的儲存空間。
| 節點 | A | B | C | ^ | ^ | F | ^ | ^ | ^ | ^ | ^ | ^ | M |
| -------- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ------ | ------ | ------ | ------ |
| **序號** | **1** | **2** | **3** | **4** | **5** | **6** | **7** | **8** | **9** | **10** | **11** | **12** | **13** |
**使用連結串列**
二叉樹最常見的儲存方式為**連結串列**：每一個節點封裝成一個Node，Node中包含儲存的資料、左節點的引用和右節點的引用。
### 三、二叉搜尋樹
#### 3.1.認識二叉搜尋樹
**二叉搜尋樹**（**BST**，Binary Search Tree），也稱為**二叉排序樹**和**二叉查詢樹**。
二叉搜尋樹是一棵二叉樹，可以為空；
如果不為空，則滿足以下**性質**：
* 條件1：非空左子樹的**所有**鍵值**小於**其根節點的鍵值。比如三中節點6的所有非空左子樹的鍵值都小於6；
* 條件2：非空右子樹的**所有**鍵值**大於**其根節點的鍵值；比如三中節點6的所有非空右子樹的鍵值都大於6；
* 條件3：左、右子樹本身也都是二叉搜尋樹；
如上圖所示，樹二和樹三符合3個條件屬於二叉樹，樹一不滿足條件3所以不是二叉樹。
**總結：**二叉搜尋樹的特點主要是**較小的值**總是儲存在**左節點**上，相對**較大的值**總是儲存在**右節點**上。這種特點使得二叉搜尋樹的查詢效率非常高，這也就是二叉搜尋樹中"搜尋"的來源。
#### 3.2.二叉搜尋樹應用舉例
下面是一個二叉搜尋樹：
若想在其中查詢資料10，只需要查詢4次，查詢效率非常高。
* 第1次：將10與根節點9進行比較，由於10 > 9，所以10下一步與根節點9的右子節點13比較；
* 第2次：由於10 < 13，所以10下一步與父節點13的左子節點11比較；
* 第3次：由於10 < 11，所以10下一步與父節點11的左子節點10比較；
* 第4次：由於10 = 10，最終查詢到資料10 。
同樣是15個數據，在排序好的陣列中查詢資料10，需要查詢10次：
其實：如果是排序好的陣列，可以通過二分查詢：第一次找9，第二次找13，第三次找15...。我們發現如果把每次二分的資料拿出來以樹的形式表示的話就是**二叉搜尋樹**。這就是陣列二分法查詢效率之所以高的原因。
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