# 視覺Slam筆記I ## 第二講-三位空間剛體運動 ### 點與座標系： #### 基礎概念： - 座標系：左手系和右手系。右手系更常用。定義座標系時，會定義世界座標系，相機座標系，以及其他關心物件的座標系。空間中任意一點可由空間的基的線性表出。 - 加減法：用座標描述更方便。 - 內積：點乘得數，即 - 外積：叉乘得向量，即右手系下，得到按照右手定則獲取的向量。 - 座標系間的變換： 通過平移(向量的加減)和旋轉(有多種描述方式，見下) - 2D情況：二維座標點表示位置+一個旋轉角表示朝向。 - 3D情況：三維座標點表示位置+一個旋轉角(角度間的變換使用旋轉，旋轉方式有多種，見下)。 #### 旋轉矩陣：（描述旋轉的第一種方式） 座標系` (e_1,e_2,e_3)`經過旋轉變成` (e'_1,e'_2,e'_3)`，在三維空間中，向量` a`保持不動，那麼如何表出它在` (e'_1,e'_2,e'_3)`下的座標： 1. 線性表出法向量` a`座標：兩座標系實質是分別用兩組不同的基去表示同一個點，則兩者的線性組合是相等的： 2. 左右兩邊同時左乘` (e_1,e_2,e_3)`的轉置，得到： - R即為**旋轉矩陣**。 - 性質： - R是一個正交矩陣（矩陣的逆即矩陣的轉置，或轉置×本身即為一個單位矩陣）。 - R的行列式值為1。 - 滿足上述性質的矩陣都可以稱為**旋轉矩陣**，使用集合表示： ，又稱特殊正交群SO(3)。 - 固定表示方式（下標順序）：且滿足矩陣關係：。 **因此，空間中不同座標系下點座標的變換可以使用：即旋轉+平移的形式完全描述** - 理論依據：尤拉定理，剛體在三維空間中的一般運動，可分解為剛體上方某一點的平移，以及繞經過此點的旋轉軸的轉動。 但是，這種表示方式在多次進行變換時會有不便（），因此使用增廣的方式進行表示：  - 其中，稱為變換矩陣，的形式稱為齊次座標。 - 齊次座標性質：齊次座標乘上任意非0常數時仍表達同一座標 - 變換矩陣的集合：稱為特殊歐式群SE(3)： #### 旋轉向量和尤拉角： 旋轉矩陣在實際中更常用，但這些概念也是需要清楚的。 旋轉矩陣R是一個3×3的矩陣，有九個元素，但僅有三個自由度，也就是存在描述方式上的冗餘，那麼能否以更少的元素表達旋轉？ 剛體旋轉存在一個轉軸(向量)，還有轉過的角度，於是想用**角度乘以向量**(單位化過後)的形式去描述旋轉。 ###### 旋轉向量 - 一個向量，方向為旋轉軸方向，長度為轉過的角度。(單位向量乘角度大小) - 又稱角軸/軸角。 - **羅德里格斯公式**可以將旋轉向量(**n**,theta)轉換成旋轉矩陣R： - 旋轉矩陣R也可以轉換成旋轉向量(**n**,theta)：**n**是特徵向量。 ###### 尤拉角 - 將旋轉分解成三個方向上的轉動，常用順序為yaw-pitch-roll(也就是繞Z-Y-X方式轉，注意 ，不同地方在繞Z轉之後，所繞的Y軸可能是原來的Y軸，也可能是轉動後的Y軸) -  - 萬向鎖(Gimbal Lock)：尤拉角存在奇異性(特定值下，旋轉的自由度減1) - 在pitch方向旋轉完畢後，roll方向旋轉和yaw方向旋轉是重合的。由此，尤拉角不適合插值或迭代，故不常用。 #### 四元數： 吸取了旋轉矩陣和旋轉向量、尤拉角的優點，是一種優秀的描述方式。 - 2D情況下，可以用單位複數表達旋轉： $$ z=x+iy=\rho e^{i\theta} $$ - 用z乘以i，相當於旋轉了90度()，乘-i轉動-90度。 在三維情況下，四元數可作為擴充定義的複數 - 特點1：有三個虛部+一個實部 - 特點2：虛部之間存在關係： - 單位四元數可以表達三維空間的旋轉：  - 四元數也能定義很多運算：  - 四元數轉換成旋轉向量： - 旋轉向量轉換成四元數： - 用四元數表示旋轉： ![image-20200329165224736](https://img2020.cnblogs.com/blog/1653121/202003/1653121-20200329170209725-13993555