# 一、前言   今天面試的時候，被問到歸併排序的時間複雜度，這個大家都知道是``O（nlogn）``，但是面試官又繼續問，怎麼推匯出來的。這我就有點懵了，因為之前確實沒有去真正理解這個時間複雜度是如何得出的，於是就隨便答了一波（理解了之後，發現面試的時候答錯了......）。   歸併排序和快速排序，是演算法中，非常重要的兩個知識點，同時也是在面試中被問的非常頻繁的內容，我明知如此，卻沒有徹底理解，真是太不應該了。所以，今天這篇部落格就來分析一下這兩種排序演算法的時間複雜度是如何得出的。我查了許多篇部落格，很多都是通過公式進行分析，十分難理解，下面我就結合自己的理解，使用通俗易懂的方式進行描述（為了好理解，可能會有些囉嗦）。
# 二、正文 ## 2.1 歸併排序的時間複雜度分析   瞭解歸併排序的應該都知道，歸併排序的時間複雜度是``O（nlogn）``，且這個時間複雜度是穩定的，不隨需要排序的序列不同而產生波動。那這個時間複雜度是如何得來的呢？我們可以這樣分析，假設我們需要對一個包含``n``個數的序列使用歸併排序，並且使用的是遞迴的實現方式，那麼過程如下： - 遞迴的第一層，將``n``個數劃分為``2``個子區間，每個子區間的數字個數為``n/2``； - 遞迴的第二層，將``n``個數劃分為``4``個子區間，每個子區間的數字個數為``n/4``； - 遞迴的第三層，將``n``個數劃分為``8``個子區間，每個子區間的數字個數為``n/8``;   ...... - 遞迴的第``logn``層，將``n``個數劃分為``n``個子區間，每個子區間的數字個數為``1``；   我們知道，歸併排序的過程中，需要對當前區間進行對半劃分，直到區間的長度為``1``。也就是說，每一層的子區間，長度都是上一層的``1/2``。**這也就意味著，當劃分到第logn層的時候，子區間的長度就是1了**。而歸併排序的``merge``操作，則是從最底層開始（子區間為``1``的層），對相鄰的兩個子區間進行合併，過程如下： - 在第``logn``層（最底層），每個子區間的長度為``1``，共``n``個子區間，每相鄰兩個子區間進行合併，總共合併``n/2``次。``n``個數字都會被遍歷一次，所有這一層的總時間複雜度為``O（n）``；   ...... - 在第二層，每個子區間長度為``n/4``，總共有``4``個子區間，每相鄰兩個子區間進行合併，總共合併``2``次。``n``個數字都會被遍歷一次，所以這一層的總時間複雜度為``O（n）``； - 在第一層，每個子區間長度為``n/2``，總共有``2``個子區間，只需要合併一次。``n``個數字都會被遍歷一次，所以這一層的總時間複雜度為``O（n）``；   通過上面的過程我們可以發現，對於每一層來說，在合併所有子區間的過程中，``n``個元素都會被操作一次，所以每一層的時間複雜度都是``O（n）``。而之前我們說過，歸併排序劃分子區間，將子區間劃分為只剩``1``個元素，需要劃分``logn``次。**每一層的時間複雜度為O（n），共有logn層，所以歸併排序的時間複雜度就是O（nlogn）**。   上面的描述算是非常詳細了，應該不會太難理解。如果上面的過程還是不太理解，那麼我們通過另外一種更直觀的方式進行分析。上面描述的是遞迴的過程，下面我們通過非遞迴（迭代）方式實現的歸併排序，再來分析一波，這種方式更加直觀（為什麼不直接通過非遞迴的方式描述，而是先通過遞迴的方式分析，是因為上面的過程也可以用來分析快速排序）。下面是通過非遞迴方式實現的歸併排序程式碼，其中有兩處分析時間複雜度的關鍵點，我標註出來了（重點關注註釋）： ```java /** * 此方法用來定義子區間大小，子區間大小從1->2->4->8 ... ->n/2 * 可以近似地認為進行了logn次 */ public static void merge(int[] arr) { // 關鍵點1：劃分子區間，每一次的子區間長度是上一次的兩倍，所以這個迴圈需要執行logn次 for(int i = 1;i=arr.length?arr.length-1:start2+gap-1; while(start2=arr.length?arr.length-1:start2+gap-1; } while(start1 ## 2.2 快速排序的時間複雜度   瞭解快速排序的應該知道，快速排序的時間複雜度在``O（nlogn）~ O（n^2）``之間，下面我就來分別分析這兩種情況： **（一）快速排序的最好情況O（nlogn）**   這種情況下，其實和上面通過遞迴分析的歸併排序很類似，理解了歸併排序的時間複雜度分析，那這裡應該也很好理解。快速排序的實現方式，就是在當前區間中選擇一個軸，區間中所有比軸小的數都需要放到軸的左邊，而比軸大的數則放到軸的右邊。**在理想的情況下，我們選取的軸剛好就是這個區間的中位數**。也就是說，在操作之後，正好將區間分成了數字個數相等的左右兩個子區間。此時就和歸併排序基本一致了： - 遞迴的第一層，``n``個數被劃分為``2``個子區間，每個子區間的數字個數為``n/2``； - 遞迴的第二層，``n``個數被劃分為``4``個子區間，每個子區間的數字個數為``n/4``； - 遞迴的第三層，``n``個數被劃分為``8``個子區間，每個子區間的數字個數為``n/8``;   ...... - 遞迴的第``logn``層，``n``個數被劃分為``n``個子區間，每個子區間的數字個數為``1``；   以上過程與歸併排序基本一致，而區別就是，歸併排序是從最後一層開始進行``merge``操作，自底向上；而快速排序則是從第一層開始，交換區間中數字的位置，也就是自頂向下。但是，``merge``操作和快速排序的調換位置操作，時間複雜度是一樣的，對於每一個區間，處理的時候，都需要遍歷一次區間中的每一個元素。這也就意味著，快速排序和歸併排序一樣，每一層的總時間複雜度都是``O（n）``，因為需要對每一個元素遍歷一次。而且在最好的情況下，同樣也是有``logn``層，所以快速排序最好的時間複雜度為``O（nlogn）``。
**（二）快速排序的最壞情況O（n^2）**   下面我們再來說一說快速排序的最壞情況，這種情況就比較好理解了。什麼是快速排序的最壞情況，那就是，**對於每一個區間，我們在處理的時候，選取的軸剛好就是這個區間的最大值或者最小值**。比如我們需要對``n``個數排序，而每一次進行處理的時候，選取的軸剛好都是區間的最小值。於是第一次操作，在經過調換元素順序的操作後，最小值被放在了第一個位置，剩餘``n-1``個數佔據了``2到n``個位置；第二次操作，處理剩下的``n-1``個元素，又將這個子區間的最小值放在了當前區間的第``1``個位置，以此類推......每次操作，都只能將最小值放到第一個位置，而剩下的元素，則沒有任何變化。所以對於``n``個數來說，需要操作``n``次，才能為``n``個數排好序。而每一次操作都需要遍歷一次剩下的所有元素，這個操作的時間複雜度是``O（n）``，所以總時間複雜度為``O（n^2）``。   其實上面的過程，我們可以換一個角度理解：每次操作，找出最小值放到剩餘區間的第一個位置，這不就是**選擇排序**的實現方式嗎？而選擇排序的時間複雜度就是``O（n^2）``，所以上面的過程也就``O（n^2）``。
# 三、總結   以上內容，就是我基於自己的理解，對快速排序和歸併排序時間複雜度的分析。為了更好理解，我的描述都儘可能的詳細，所以可能會有點囉嗦，但是我認為還是很通俗易懂的。希望這篇部落格能夠為之前對這兩種排序演算法理解不是特別清晰的人提供幫助，同時，若上面的內容存在錯誤或不足，歡迎指正或