5語法與邏輯

5.1一階謂詞邏輯

從符號應用來看，領域語言本身可以是用自然語言的文字詞彙與語句形式，領域語言也可以是數學符號與公式表現的。我們把上述二種型別領域語言看作二個端點，在這二個端點之間是各種混雜形式的應用。並不是說不會有其它形式的符號應用，因為這是自由的，只是想創新出一種符號方式不是易事。近代的化學裡，也有元素週期表，化學方程式這樣的專門符號形式應用，但很難說這些符號的應用統馭了這門科學。

在如管理學、生物學、心理學、政治學、還有語言學等等學科，或這些學科裡的多個分支，到處都有沒有數學化的領域。從比例來說，今天多數人工作所依賴的知識來自那些數學化程度很低的領域。這些領域在理論化時，仍以自然語言的方式來組織符號，並且多數實際上達不到公理化系統這樣的程度。歐幾里德的《幾何原本》如果相較於代數，也可以看作是自然語言、直觀圖形、一些專用表示基礎上建立起來的。

自然語言的文字詞彙與語句在構建領域語言時，它們與自然語言的日常性應用有什麼不同呢？答案是邏輯在其中所起的作用不同。我們有一些語句，那接下來的工作你可以選擇：一是對比語句的描述與實際的情況，判斷語句描述是否與實際相符；二是邏輯上判斷語句間相互是否矛盾？語句的陳述假設了什麼前提，或者從這些語句出發應用邏輯的規則可以推匯出什麼結論。

邏輯應用的一般描述是：定義概念，通過命題對概念進行判斷（也稱斷言），判斷是對二個或多個概念存在一定關係的確定，通過已有命題進行推理與證明，得到新的命題。通過概念與命題交織起的網路，人類的認知與思想得以呈現。正是邏輯與領域內容結合出公理演繹系統的模式：精心地選擇初始的概念與命題，通過有組織的定義、推理、證明，建立起整體系統。就算達不到公理的系統，想要樹立一個可被接受的認知，而不只是自我表達，必須是以邏輯來組織起內容，這其中包括歸納的邏輯。

符號的概念性應用基本的要求的是：觀點與論述可信與自洽的，邏輯的應用是今天人類保障觀點自洽的方式。一般的觀點，邏輯是有效推理論證的方法：前提為真，就可保障結論為真。推理論證的有效性取決於推理的形式，與推理中非邏輯符號的實指無關，以亞里士多德（Aristotle，公元前384～前322，古希臘的哲學家、科學家、邏輯學家、教育家）三段論為例：

所有吃草且會奔跑的都是動物

馬是吃草且會奔跑的

所以，馬是動物

在這個例子中，替換“馬”為“牛”，或者系統替換“吃草且會奔跑”、“動物”、“馬”三者，都不影響推論的有效，詞項：“所有”、“是”、“所以”構成了這裡的推理形式，一般化這個形式如下：

所有M是P

S是M

所以，S是P

我們再看下面的例子：

所有吃草且會奔跑的都是兔子

馬是吃草且會奔跑的

所以，馬是兔子

“馬是兔子”這當然是荒謬的說法，但這的邏輯應用沒有問題，結果的荒謬是因為前提“所有吃草且會奔跑的都是兔子”是荒謬的，純粹邏輯並不關心前提，結論是否荒謬，也不關心兔子、馬這些詞彙是指稱什麼。邏輯只關注推導的結構與形式是否符合規定，符合規定就是有效的。

“荒謬”是個日常，感受上帶有情緒的一個詞彙，在邏輯里正式說法是“假”。論述時的每一陳述句或者為“真”，或者為“假”，為“真”或為“假”稱為語句的真值。真值中的“真”、“假”通常用“1”、“0”表示。我們在二種意義討論“真”與“假”，一種是經驗的真值，其意義是語句的描述是否與事實相符，這是通過實際的驗證來證實的；一種是邏輯的真值，邏輯上從前提語句推理得到的語句，稱為後承語句，前提語句為真而且推理有效，後承語言真值=1，這裡後承語句的真值是邏輯上的真值。對於構建認知，經驗的真值才是終極的標準，只是人類理論的抽象性與實際環境的複雜性，不一定存在無爭議可實施的驗證方法。存在萬有引力定律，慣性定律場景就很難真實地存在，理論上這樣構建仍是可行的，但想找到或創造合外力為零的情況來驗證，這看上去沒有現實性。水星近日點的異常進動被認為是對廣義相對論的證明，很多人不確信這一點，因為並沒有完整地考慮所有因素並精確地進行了計算，比如沒有考慮太陽風的影響。公理演繹系統的公理最初認為是不證自明的，非歐幾里德幾何出現後，公理失去了這種必然性，公理的真被認為是假說性的，公理演繹系統的應用只是種嘗試，在其擴充套件中一直有效，就保障了其存在的基礎，有失效的地方則證明這種嘗試是需要改進的或放棄的。邏輯學家們有時也爭論：“真值”這個概念是否沒有“邏輯有效”這個概念恰當。

日常語言中“邏輯”一詞用法可以代表通常所說的自然語言的混亂狀況。對專業些的人士，“邏輯”一詞指現代邏輯學的邏輯：有效推理論證的形式；對一些人，這指自然語言中不能脫離語義的自然語言邏輯；對另一些人，是指歸納邏輯的內容；對多數人是不加區分地應用。說“不合邏輯”可能是指未遵守有效推理論證的方式，或不夠嚴謹；或是指論證的前提不成立；或是指語句描述與經驗不符。

亞里士多德做出了初步的邏輯規範，但在自然語言裡應用亞里士多德的邏輯是困難的，原因是自然語言詞彙語義上的歧義性，想想“邏輯”一詞的在實際中的用法，在語義無明確界定基礎上進行的推理、證明或辯論，結果將是從混亂走向新的混亂。

鑑於自然語言在嚴謹應用時難於避免的混亂，德國哲學家與數學家萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz。1646.7-1716.11)想到創立一門通用語言，這種語言的使用形式與邏輯規則一致，這樣推理變成一種演算，當爭論發生時，我們可以像在算術裡那樣算一算就得到確定的結果。

1879年德國數學家、邏輯學家和哲學家弗雷格(Friedrich Ludwig Gottlob Frege，1848.11-1925.7)出版了《概念文字》（英譯：Concept Writing）一書，開始具體實現萊布尼茨的想法。弗雷格的設想不僅是能模仿算術實現機械的推理運算，他的設想首先是建立一門表達思想概念的語言。

陳述句在邏輯裡稱為命題。命題作為一個整體的單位時，經常用一個小寫字母來表示，如p、q、s…。弗雷格參考數學函式的概念改寫了命題的格式。跳過弗雷格的術語與形式，用今天通用的表示法，命題的形式是P（x）、或P（x、y）。其中x、y 為項，是命題要表述的物件，P（）稱為謂詞，表示一種性質或關係，類似於一個函式。我們先說x、y是常項的情況，自然語句“小明是小學生”命題形式表示為“是小學生（小明）”，自然語句“獅子追逐斑馬”命題形式可表示為“追逐（斑馬、獅子）”。邏輯上我們應用“是小學生（小明）”命題時，是一個描述，同時也是一個判斷，判定p是一個事實且p =‘小明是小學生’，即認為命題：“是小學生（小明）”=1，這是在實證的意義上說的。

弗雷格還引入了量詞：∀為全稱量詞，∃為存在量詞。引入量詞後，x、y就可以表示變項，∀ x：P（x）表示所有x代表的常項，都使P（x）=1。如果用x表示學生，可以構造這樣的命題∀ x：要做作業（x），翻譯為自然語句就是：所有的學生都要做作業。∃ x：P（x）表示存在x代表的常項，使P（x）=1。如果用x 表示鳥類，可以構造命題∃ x：不會飛（x），翻譯為自然語句就是：存在不會飛的鳥。

在弗雷格之前，1854年，英國數學家喬治·布林（George Boole，1815.11-1864.12）出版了《思維規律的研究》（An Investigation of The Laws of Thought）一書。在這本書里布爾提出可用於命題聯結的運算：與（合取）、或（析取）、非（否定）運算，邏輯裡形式表示為"∧"、"∨"、"┐"，語義上與下述三個日常詞彙接近：並且（and）、或者（or）、否定（not），當然不能用這三詞彙來理解這三個運算，"∧"、"∨"、"┐"，可通過真值表無歧義地定義。為了表述方便，下面的論述裡的命題先簡單寫為p、q。

1與運算：∧

2或運算：∨

3非運算┐

從真值表的定義，可以發現，或運算的1∨1=1與“或者”一詞的自然語義是有區別的，我或者乘飛機去北京，或者坐高鐵去北京，我不可能乘飛機同時又坐高鐵去北京，一般的語義下1∨1=0。為適配這種語義，邏輯裡另外定義了異或運算，邏輯里語法形式表示為：⊕

異或運算：⊕

我們不需要引入獨立的異或運算，所有其它的運算可以用∧、∨、┐定義出

p⊕q=(┐p∧q) ∨(p∧┐q)

同樣我們可以使用真值表來驗證定義是否成立

從日常實踐來說，經常用到的是這種運算——蘊涵運算，邏輯里語法形式表示為：⇒，語義對應的日常詞彙是：如果…那麼，真值表如下：

蘊涵運算⇒

可定義為：┐p∨q。

對蘊涵運算理解的要點是：P為真時，q為真，才成立；P為假時，q無論真假， p⇒q都為真，後半句是讓人困惑的地方，學術界也有爭論，你可以理解為這只是個約定。

蘊涵運算的增強運算是等價運算，邏輯里語法形式表示為：⇔語義對應的日常詞彙是：當且僅當，真值表如下：

等價運算⇔

可定義為：(p∧q) ∨（ ┐p∧┐q）。

對等價運算理解的要點是：p⇔q 相當於 p⇒q ∧q ⇒ p

上面我們是從與、或、非運算定義出異或、蘊涵、等價運算，如果需要還可以再定義其它的運算。我們也可以不從與、或、非運算出發，定義其它的運算，而是從比如蘊涵、非運算出發，定義出與、或、及其它的運算，如何選擇只是邏輯上的約定與方便。

有了量詞、命題形式、命題聯結方式，就可以應用這些形式來表示觀念或事實。實用的中的場景主要是先有自然語言的語句描述，再轉換為這種邏輯語法表示。這種轉換對簡單關係的語句也不復雜，對複雜的語句或意思，除非經過了一定的訓練外，這種轉換並不容易，閱讀可能更困難。

由邏輯語法表達的多個事實與觀念組成了前提，接下來是進行推理、證明。一串的推理得到結論，或揭示出矛盾，這就構成一個證明。每一步的推理是對邏輯表示式進行轉換，比如說表示式中有“┐┐q”部分，你可以用“q”來替換，這是平時所說的：否定之否定就是肯定。邏輯上的說法是 “┐┐q” 與“q”形成等價的關係：┐┐q⇔q，等價符號二邊可以相互替代。說到邏輯推理，普通人最容易想到的是“如果……那麼……”的句式，這是假言推理的一種形式，完整描述是：如果p那麼q，p，所以q，專業的形式是（p⇒q∧p）⇒q，這是個蘊涵關係，只有右邊可以替代左邊。 邏輯裡┐┐q⇔q與（p⇒q∧p）⇒q稱為重言式，更多的重言式如下：

┐┐q⇔ q

p∧( q∨s) ⇔ (p∧q)∨( p∧s)

p∨ ( q∧s) ⇔ (p∨q) ∧ ( p∨s)

┐(p∧q) ⇔┐p∨┐q

┐(p∨q) ⇔┐p∧┐q

p∨ (p∧q) ⇔p

p∧ (p∨q) ⇔p

┐（∀x）P（x）⇔（ ∃x）（┐Px）

┐（∃x）P（x）⇔（∀x）（┐Px）

p∧q⇒ p

p∧q⇒ q

p ⇒ (p∨q)

q ⇒ (p∨q)

┐p∧(p∨q) ⇒ q

（p⇒ q∧p）⇒q

（p⇒ q）∧（q ⇒ s）⇒(p⇒ s)

這裡只是列舉了部分重言式。由重言式組成的集合就構成一個邏輯推理的系統。推理過程就是不斷應用系統裡的重言式進行替換的操作。有那些重言式，這些重言式如何構成推理系統是邏輯學家研究的課題。

由字母、特定的符號、表示式，重言式構成一個可演算的符號系統： x、P()、p、q、∀ 、∃、∧、∨、┐、⇒、p ⇒ (p∨q)、q ⇒ (p∨q)……。這個符號系統傳統上的一個說法是刻畫了我們的思維規則，持這種觀點的問題在於邏輯學家們發展出了太多這樣的系統，除一階謂詞邏輯外，還有：高階的邏輯、時序邏輯、模態邏輯，甚至如p ∧┐p⇔1排中律不適用的邏輯，似乎不同的假設與應用場景都可以去發展一個邏輯的門類。

任何一個邏輯閘類在現代都是形式化為一個符號的系統，形式化的意思是以字母、抽象符號、字母符號形成的表示式、表示式間規則來建立系統，所用到的符號不實指具體意義，所建立的系統只是規定符號間的關係與可能的操作。這時候需要小心區分：邏輯與邏輯的符號系統。邏輯是思維時或符號表述內容時需要遵循的規則，這些規則在今天是用符號系統的形式來呈現，用本書偏好的說法：邏輯外化為一個符號系統。這樣 做的理由是：恰當的符號與明確的規定，可以清晰呈現所針對的關係，所依據的前提，進而可用符號來模擬各種可能的情形，同時，以符號系統存在的邏輯，讓邏輯本身以及對邏輯的研究工作變得可交流。 邏輯符號系統不能認為就是邏輯本身。除非至始至終邏輯只有唯一的符號表現形式，那這唯一的符號表現形式可以認為就是邏輯，但這不是真的，同樣的邏輯可以有不同的符號方式或符號系統來表現。另外，邏輯在實際中的作用，不一定是邏輯符號系統的應用，更多時候是人腦直接遵循並應用邏輯的，而且普通人學不學邏輯學對其邏輯思維的影響並不是至關重要的，這可類比於對語法的學習。邏輯與邏輯符號系統的區分，也說明人腦裡的邏輯心理運轉與符號的形式推導是不同的二個範疇，對此我們可說的不多。邏輯以符號形式來表現，這帶來了理解上的問題。談到亞里士多德邏輯，一般人會想到是講“因為……所以”的，邏輯的典型詞項代表了邏輯，而且邏輯與自然語言是不可分的。到了符號化、形式化的現代邏輯，多數人可能就困惑了，何以出現這些符號的形式。沒有更好的辦法，邏輯在今天只能是以符號系統形式存在。

 （作者（LQS）注：連續地閱讀會發現，系列的文章不是對各個問題的解釋，而是新的理解視