簡單易懂的並查集演算法以及並查集實戰演練
阿新 • • 發佈：2021-01-31
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# 前言 並查集演算法適用於處理一些不相交集合的合併及查詢問題。對於這一類的問題使用並查集，不但節省了空間，而且大大縮短了執行時間。 基本的並查集很好寫出一個模板，對於一些特殊的題目也能很好對並查集進行變形，接下來來看一下引例瞭解一下並查集
# 一、引例 男生寢室關係錯綜複雜，甚至一個四人寢室都能整出四個爸爸四個兒子。 有一天宿管阿姨想知道這個寢室樓裡有多少個爸爸家族，但是宿管只知道哪兩個人互稱爸爸。  上圖是宿管阿姨花了三天三夜整理的爸爸關係圖，宿舍樓裡總共有n個男生，所以她將每個男生編號0~(n-1)。剛開始人不多，所以阿姨想看0和6是不是一個家族的，只需要看這幾個關係即可知道0和6是一個爸爸家族的  後來學生知道了，紛紛來宿管這兒查關係，想看看自己有多少個兒子，自己和隔壁班的學霸是不是爸爸關係。 這一下可給宿管忙壞了，有時候得追溯到十幾個人才能確定兩個人有爸爸關係，而且還會查錯走不少彎路，於是阿姨花了一個晚上，硬生生把關係無向圖給畫出來了，這下子學生一看圖就能知道自己在爸爸家族有多少兒子。  時間一長，學生跑來和宿管講：“阿姨阿姨，我又有新兒子了，我是0，我兒子是7”，於是阿姨在圖上簡單地畫一下，一個新關係圖出來了  # 二、結合引例寫出並查集 ## 1. 並查集維護一個數組 說來你可能不信，以上就是並查集的思路了！下面我們迴歸正題，在上面例子中，我們涉及到了兩個操作，一個是**查詢**，一個是**合併**，這也是並查集名字的由來。 在這裡我們新建一個數組arr，圖示第一行為座標i，第二行為陣列元素的內容arr[i]，陣列座標就是學生的編號，分別是0, 1, 2, ..., n-1。arr[x]的值表示編號為x的同學的爸爸是誰。初始值表示自己就是自己的爸爸，所以arr[x]=x。  ## 2. 並查集的 並 操作 接下來一個“父子關係”加入了，0說3是兒子，3說0是兒子，誰也爭持不下，那就偷偷的規定右邊是左邊的爸爸，不告訴他們。（你可能會疑惑，為什麼要這樣規定，可以反過來嗎？後面會做出解釋，你姑且先放一邊哈）  接下來迴圈往復，重複以上操作，依次將2與5，4與6合併  我們通過對陣列元素的修改，得到了一個集合，我們可以用無向圖來表示。按照0的爸爸是3，3的爸爸是4，4的爸爸是6等這樣來把它們連起來  ## 3. 並查集的 查 操作 我們要查詢0和4是不是一個家族的，就需要檢視0的祖先和4的祖先是同一個人嗎？換句話說也就是隻需要向上依次查詢0的爸爸的爸爸的爸爸，查詢4的爸爸的爸爸的爸爸，直到最後的爸爸的爸爸是他自己，就說明這個是爸爸家族裡的祖先。下面給出圖示說明  做出一點解釋，對於第一步，因為陣列arr對應的arr[x]=y，表示編號為x的人的爸爸是y，所以要想知道x的父親，必須訪問arr[x]即可知道 對於第二步，祖先一定滿足arr[x]=x，即爸爸的爸爸是自己，所以只要不滿足arr[x]=x的，一定x一定還有爺爺，這時候就要一直向上查詢x的爺爺爺爺爺爺爺爺，直到第六步所示，arr[6]=6表示6是祖先！我們找到了！！ ## 4. 基本並查集模板程式碼實現——第一版（有錯誤後面分析） 這樣一來，我們簡單地得到了第一版的並查集： ```java /** * @author 太白 */ public class UnionFind { private int[] arr; public UnionFind(int size) { arr = new int[size]; for (int i = 0; i < size; i++) { arr[i] = i; // 初始化，每個人是自己的父親，即每個人都是祖先 } } public int find(int son) { int father = arr[son]; // 迴圈，直到爸爸的爸爸是自己為止 while (father != arr[father]) { father = arr[father]; } return father; } public void union(int son1, int son2) { // 此處有錯誤，可以思考一下，下面我們舉例說明為什麼錯了 arr[son1] = son2; // 合併，son1的爸爸是son2 } } ``` ## 5. 一個錯誤 我們給出一種情況，我們加了一個新關係，0的爸爸是2，來看看我們現在的程式碼是否能完成預期功能  完蛋！由於我們在union方法中只是進行`arr[son1]=son2;`導致原先的祖爺爺6少了一個孫子0，孫子0歸祖爺爺5去了，簡直是背盟敗約，跑到了別的爸爸家族裡面去了！！！ 沒事，其實解決方法特別簡單！別被這個小錯誤給亂了陣腳，這也是起初學該演算法容易犯的錯誤，可以注意一下。 我們維護的是m個爸爸家族，所以如果我們將整個爸爸家族當做是一個人，另一個爸爸家族當做是另一個人，再讓這兩個巨大的人互認爸爸兒子即可。自然，我們肯定會讓祖爺爺出面，去和另一個家族比拼，誰贏了就誰當爸爸。（當然無所謂誰當，後面會解釋）  ## 6. 基本並查集模板程式碼實現——第二版（解決錯誤） 現在，我們給出第二版，解決了上述的BUG，你會看到解決方式是如此的簡單，程式碼也很好理解，找到雙方的祖先，最後讓son2的祖先當son1祖先的爸爸。 ```java /** * @author 太白 */ public class UnionFind { private int[] arr; public UnionFind(int size) { arr = new int[size]; for (int i = 0; i < size; i++) { arr[i] = i; } } public int find(int son) { int father = arr[son]; while (father != arr[father]) { father = arr[father]; } return father; } public void union(int son1, int son2) { // 請相信我，只改動了這裡，其他地方都沒有修改過 int father1 = find(son1); int father2 = find(son2); // 注意中括號裡面的son改成了father arr[father1] = father2; } } ``` ## 7. 一點點解釋，為什麼無需在意誰是誰的爸爸 在上面我們的程式碼中默認了都是son1的爸爸是son2，那我們可以讓son2的爸爸是son1嗎？答案是可以！ 因為我們維護的是集合，只是確認一個集合裡有誰即可。 從語義上講：今天你是我爸爸，明天我是你爸爸，但是我們依然是一個爸爸家族裡的一員，所以不需要在意誰是誰的爸爸。 從家族結構來講：整個家族就是一個無向圖，關係是雙向的。0可以是3的爸爸，3也可以是0的爸爸，所以無需刻意要求，當然也可以在程式碼裡反著寫`arr[father2]=father1`
# 三、並查集的優化 ## 1. 並查集優化原理 可以看到我們每次查詢都得一個一個向上查，0的爸爸是3，3的爸爸是4，4的爸爸是6，6的爸爸是6...如果我們資料量大一點，一個宿舍樓上萬人，那麼我們每次查詢最大可能得查上萬次，這太花時間啦！那麼我們能不能做出一點改進呢？誒你別說，還真有~ 思路是這樣的，畢竟我們每次都得查詢x的祖先是誰，不關心x的爸爸是誰，x的爺爺是誰，那為什麼不直接讓arr[x]指向它的祖先編號y呢，在本例中我們為什麼不讓arr[0]=6, arr[3]=6, arr[4]=6呢？ 所以我們在本例中，可以讓0、3、4的爸爸直接認定為6即可。延續上一次的查詢，我們再多一項功能就是**再次遍歷**0的爸爸3、4，讓3和4的爸爸設定為6  ## 2. 基本並查集模板程式碼實現——第三版（優化） 程式碼實現也很簡單，我們只需要在find方法中加個四五行即可 ```java /** * @author 太白 */ public class UnionFind { private int[] arr; public UnionFind(int size) { arr = new int[size]; for (int i = 0; i < size; i++) { arr[i] = i; } } public int find(int son) { int father = arr[son]; while (father != arr[father]) { father = arr[father]; } // 直到迴圈到祖先為止 while (father != arr[son]) { // 儲存當前son的爸爸 // 因為要更改son的爸爸，所以要有個備份 int next = arr[son]; // 將son的爸爸改成father arr[son] = father; // 找到下一個爸爸（用備份的爸爸賦值給son即可） // 將son改成下一個爸爸，為下一個迴圈做準備 son = next; } return father; } public void union(int son1, int son2) { int father1 = find(son1); int father2 = find(son2); arr[father1] = father2; } } ``` 於是，我們的模板就算是做好了，我習慣在裡面新增兩個方法，一個是`isFamily(int, int)`，另一個是`getCategory()`，第一個可以檢測兩個人是不是同一個爸爸家族的成員，另外一個看看總共有多少個爸爸家族，這兩個方法經常在題目中用到，也很好實現，所以後續我們會結合例題，看如何十分簡單地運用該演算法解決一些相對複雜的題目。
# 四、例題 未完
# 前言 並查集演算法適用於處理一些不相交集合的合併及查詢問題。對於這一類的問題使用並查集，不但節省了空間，而且大大縮短了執行時間。 基本的並查集很好寫出一個模板，對於一些特殊的題目也能很好對並查集進行變形，接下來來看一下引例瞭解一下並查集
# 一、引例 男生寢室關係錯綜複雜，甚至一個四人寢室都能整出四個爸爸四個兒子。 有一天宿管阿姨想知道這個寢室樓裡有多少個爸爸家族，但是宿管只知道哪兩個人互稱爸爸。  上圖是宿管阿姨花了三天三夜整理的爸爸關係圖，宿舍樓裡總共有n個男生，所以她將每個男生編號0~(n-1)。剛開始人不多，所以阿姨想看0和6是不是一個家族的，只需要看這幾個關係即可知道0和6是一個爸爸家族的  後來學生知道了，紛紛來宿管這兒查關係，想看看自己有多少個兒子，自己和隔壁班的學霸是不是爸爸關係。 這一下可給宿管忙壞了，有時候得追溯到十幾個人才能確定兩個人有爸爸關係，而且還會查錯走不少彎路，於是阿姨花了一個晚上，硬生生把關係無向圖給畫出來了，這下子學生一看圖就能知道自己在爸爸家族有多少兒子。  時間一長，學生跑來和宿管講：“阿姨阿姨，我又有新兒子了，我是0，我兒子是7”，於是阿姨在圖上簡單地畫一下，一個新關係圖出來了  # 二、結合引例寫出並查集 ## 1. 並查集維護一個數組 說來你可能不信，以上就是並查集的思路了！下面我們迴歸正題，在上面例子中，我們涉及到了兩個操作，一個是**查詢**，一個是**合併**，這也是並查集名字的由來。 在這裡我們新建一個數組arr，圖示第一行為座標i，第二行為陣列元素的內容arr[i]，陣列座標就是學生的編號，分別是0, 1, 2, ..., n-1。arr[x]的值表示編號為x的同學的爸爸是誰。初始值表示自己就是自己的爸爸，所以arr[x]=x。  ## 2. 並查集的 並 操作 接下來一個“父子關係”加入了，0說3是兒子，3說0是兒子，誰也爭持不下，那就偷偷的規定右邊是左邊的爸爸，不告訴他們。（你可能會疑惑，為什麼要這樣規定，可以反過來嗎？後面會做出解釋，你姑且先放一邊哈）  接下來迴圈往復，重複以上操作，依次將2與5，4與6合併  我們通過對陣列元素的修改，得到了一個集合，我們可以用無向圖來表示。按照0的爸爸是3，3的爸爸是4，4的爸爸是6等這樣來把它們連起來  ## 3. 並查集的 查 操作 我們要查詢0和4是不是一個家族的，就需要檢視0的祖先和4的祖先是同一個人嗎？換句話說也就是隻需要向上依次查詢0的爸爸的爸爸的爸爸，查詢4的爸爸的爸爸的爸爸，直到最後的爸爸的爸爸是他自己，就說明這個是爸爸家族裡的祖先。下面給出圖示說明  做出一點解釋，對於第一步，因為陣列arr對應的arr[x]=y，表示編號為x的人的爸爸是y，所以要想知道x的父親，必須訪問arr[x]即可知道 對於第二步，祖先一定滿足arr[x]=x，即爸爸的爸爸是自己，所以只要不滿足arr[x]=x的，一定x一定還有爺爺，這時候就要一直向上查詢x的爺爺爺爺爺爺爺爺，直到第六步所示，arr[6]=6表示6是祖先！我們找到了！！ ## 4. 基本並查集模板程式碼實現——第一版（有錯誤後面分析） 這樣一來，我們簡單地得到了第一版的並查集： ```java /** * @author 太白 */ public class UnionFind { private int[] arr; public UnionFind(int size) { arr = new int[size]; for (int i = 0; i < size; i++) { arr[i] = i; // 初始化，每個人是自己的父親，即每個人都是祖先 } } public int find(int son) { int father = arr[son]; // 迴圈，直到爸爸的爸爸是自己為止 while (father != arr[father]) { father = arr[father]; } return father; } public void union(int son1, int son2) { // 此處有錯誤，可以思考一下，下面我們舉例說明為什麼錯了 arr[son1] = son2; // 合併，son1的爸爸是son2 } } ``` ## 5. 一個錯誤 我們給出一種情況，我們加了一個新關係，0的爸爸是2，來看看我們現在的程式碼是否能完成預期功能  完蛋！由於我們在union方法中只是進行`arr[son1]=son2;`導致原先的祖爺爺6少了一個孫子0，孫子0歸祖爺爺5去了，簡直是背盟敗約，跑到了別的爸爸家族裡面去了！！！ 沒事，其實解決方法特別簡單！別被這個小錯誤給亂了陣腳，這也是起初學該演算法容易犯的錯誤，可以注意一下。 我們維護的是m個爸爸家族，所以如果我們將整個爸爸家族當做是一個人，另一個爸爸家族當做是另一個人，再讓這兩個巨大的人互認爸爸兒子即可。自然，我們肯定會讓祖爺爺出面，去和另一個家族比拼，誰贏了就誰當爸爸。（當然無所謂誰當，後面會解釋）  ## 6. 基本並查集模板程式碼實現——第二版（解決錯誤） 現在，我們給出第二版，解決了上述的BUG，你會看到解決方式是如此的簡單，程式碼也很好理解，找到雙方的祖先，最後讓son2的祖先當son1祖先的爸爸。 ```java /** * @author 太白 */ public class UnionFind { private int[] arr; public UnionFind(int size) { arr = new int[size]; for (int i = 0; i < size; i++) { arr[i] = i; } } public int find(int son) { int father = arr[son]; while (father != arr[father]) { father = arr[father]; } return father; } public void union(int son1, int son2) { // 請相信我，只改動了這裡，其他地方都沒有修改過 int father1 = find(son1); int father2 = find(son2); // 注意中括號裡面的son改成了father arr[father1] = father2; } } ``` ## 7. 一點點解釋，為什麼無需在意誰是誰的爸爸 在上面我們的程式碼中默認了都是son1的爸爸是son2，那我們可以讓son2的爸爸是son1嗎？答案是可以！ 因為我們維護的是集合，只是確認一個集合裡有誰即可。 從語義上講：今天你是我爸爸，明天我是你爸爸，但是我們依然是一個爸爸家族裡的一員，所以不需要在意誰是誰的爸爸。 從家族結構來講：整個家族就是一個無向圖，關係是雙向的。0可以是3的爸爸，3也可以是0的爸爸，所以無需刻意要求，當然也可以在程式碼裡反著寫`arr[father2]=father1`
# 三、並查集的優化 ## 1. 並查集優化原理 可以看到我們每次查詢都得一個一個向上查，0的爸爸是3，3的爸爸是4，4的爸爸是6，6的爸爸是6...如果我們資料量大一點，一個宿舍樓上萬人，那麼我們每次查詢最大可能得查上萬次，這太花時間啦！那麼我們能不能做出一點改進呢？誒你別說，還真有~ 思路是這樣的，畢竟我們每次都得查詢x的祖先是誰，不關心x的爸爸是誰，x的爺爺是誰，那為什麼不直接讓arr[x]指向它的祖先編號y呢，在本例中我們為什麼不讓arr[0]=6, arr[3]=6, arr[4]=6呢？ 所以我們在本例中，可以讓0、3、4的爸爸直接認定為6即可。延續上一次的查詢，我們再多一項功能就是**再次遍歷**0的爸爸3、4，讓3和4的爸爸設定為6  ## 2. 基本並查集模板程式碼實現——第三版（優化） 程式碼實現也很簡單，我們只需要在find方法中加個四五行即可 ```java /** * @author 太白 */ public class UnionFind { private int[] arr; public UnionFind(int size) { arr = new int[size]; for (int i = 0; i < size; i++) { arr[i] = i; } } public int find(int son) { int father = arr[son]; while (father != arr[father]) { father = arr[father]; } // 直到迴圈到祖先為止 while (father != arr[son]) { // 儲存當前son的爸爸 // 因為要更改son的爸爸，所以要有個備份 int next = arr[son]; // 將son的爸爸改成father arr[son] = father; // 找到下一個爸爸（用備份的爸爸賦值給son即可） // 將son改成下一個爸爸，為下一個迴圈做準備 son = next; } return father; } public void union(int son1, int son2) { int father1 = find(son1); int father2 = find(son2); arr[father1] = father2; } } ``` 於是，我們的模板就算是做好了，我習慣在裡面新增兩個方法，一個是`isFamily(int, int)`，另一個是`getCategory()`，第一個可以檢測兩個人是不是同一個爸爸家族的成員，另外一個看看總共有多少個爸爸家族，這兩個方法經常在題目中用到，也很好實現，所以後續我們會結合例題，看如何十分簡單地運用該演算法解決一些相對複雜的題目。
# 四、例題 未完