計量經濟學導論11:波動率模型
阿新 • • 發佈:2021-02-17
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# 波動率模型
## 什麼是波動率?
波動率指的是資產價格的波動強弱程度,類似於概率論中隨機變數標準差的概念。波動率不能直接觀測,可以從資產收益率中看出波動率的一些特徵。
為建立波動率隨時間變化的一般模型,我們定義波動率是收益率的條件標準差。設 $r_t$ 是某種資產在 $t$ 時刻的基於某時間單位的對數收益率,一般認為 $\{r_t\}$ 序列是前後不相關的或低階自相關的,但不是前後獨立的時間序列。
一元波動率模型就是試圖刻畫收益率這種本身不相關或低階自相關,但前後不獨立的模型。用 $\mathcal{F}_{t-1}$ 表示截止到 $t-1$ 時刻的收益率的全部歷史資訊,尤其是包括這些收益率的線性組合。考慮 $r_t$ 在 $\mathcal{F}_{t-1}$ 條件下的條件均值和條件方差:
$$
\mu_t={\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ , \ \ \ \ \sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ .
$$
可以將 $r_t$ 分解為:
$$
r_t=\mu_t+a_t \ ,
$$
其中 $\{a_t\}$ 為不相關的白噪聲序列,這裡我們對白噪聲序列假設 ${\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0$ 。這個條件比不相關零均值白噪聲序列的條件要強一些。綜合以上條件,可以有
$$
\sigma_t^2={\rm Var}(r_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm Var}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(a_t^2|\mathcal{F}_{t-1}) \ .
$$
這裡的 $\sigma_t$ 就是波動率,是收益率的條件標準差。
如果假設模型中的白噪聲 $\{a_t\}$ 是獨立序列, 則 $\sigma_t^2\equiv\sigma^2$ ,波動率就沒有建模的可能。但是實際上,假定 $\{a_t\}$ 是零均值不相關的白噪聲,滿足 ${\rm E}(a_t|\mathcal{F}_{t-1})=0$ ,但並不是獨立序列。
波動率模型的主要問題就是對 $\sigma_t^2$ 建模,這種模型叫做條件異方差模型。將收益率 $r_t$ 分解後,有
$$
a_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ ,
$$
稱 $\{a_t\}$ 為資產收益率 $\{r_t\}$ 在 $t$ 時刻的新息。$\sigma_t^2$ 的模型稱為 $\{r_t\}$ 的波動率方程。
## ${\rm ARCH}$ 模型引入
自迴歸條件異方差模型,簡稱為 ${\rm ARCH}$ 模型。這是我們將波動率定義為條件標準差之後,第一次提出的波動率的理論模型。
我們通常意義上考慮的異方差問題,是指在一個靜態模型中,隨機誤差項的方差取決於模型中的解釋變數。然而在時間序列模型中,我們還需要對異方差的動態形式加以考慮。即使不存在通常意義上的異方差,隨機誤差項的方差還可能取決於時間序列在以前時期的波動程度。我們用條件方差來理解這一問題。
考慮一個簡單靜態模型
$$
y_t=\beta_0+\beta_1x_t+u_t \ ,
$$
如果該模型滿足時間序列模型假設 TS.1-TS.5,則顯然 OLS 估計量仍然是 BLUE 的。這裡的同方差假設指的是 ${\rm Var}(u_t|X)$ 是一個常數。但如果改變條件,還可能存在其他形式的異方差:
$$
{\rm Var}(u_t|X,u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|X,u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ ,
$$
這就是一階自迴歸條件異方差模型。
一般地,我們省略解釋變數條件,將 ${\rm ARCH}(1)$ 模型寫為
$$
{\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)={\rm Var}(u_t|u_{t-1})\triangleq\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ .
$$
## ${\rm ARCH}(1)$ 模型
建立 ${\rm ARCH}$ 模型考慮了兩個基本思想:
(1) 隨機擾動序列 $u_t$ 是前後不相關的,但不獨立的。
(2) 序列 $u_t$ 的不獨立性可以描述為基於歷史資訊的條件方差 ${\rm Var}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})$ 可以用二次項序列 $u_t^2$ 的滯後項的線性組合表示。
其中 $\mathcal{F}_{t-1}$ 指的是 $t-1$ 期的全部資訊。
在 Wooldridge 的《計量經濟學導論》中,將 ${\rm ARCH}(1)$ 模型近似設定為
$$
u_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+v_t \ , \ \ \ \ v_t\sim{\rm WN}(0,\,\sigma_0^2) \ .
$$
由於條件方差恆正,因此在這個模型中,只有當 $\alpha_0>0$ 且 $\alpha_1>0$ 時該模型是有具有動態意義的。
更加廣為使用的 ${\rm ARCH}(1)$ 模型是 Tsay 在《金融時間序列分析》中給出的模型設定:
$$
u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,
$$
$$
\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2 \ ,
$$
其中 $\{\varepsilon_t\}$ 是零均值標準方差的獨立同分布白噪聲 ${\rm WN}(0,\,1)$
首先求解條件方差:
$$
{\rm Var}(u_t|u_{t-1})={\rm E}(u_t^2|u_{t-1})=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)=\sigma_t^2
$$
接著求解無條件方差:
$$
\begin{aligned}
{\rm Var}(u_t)&={\rm E}(u_t^2)={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma^2_t{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\
&={\rm E}(\sigma_t^2)={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2)=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)\ .
\end{aligned}
$$
由於 $\{u_t\}$ 是一個零均值平穩序列,有 ${\rm E}(u_t)=0$ 和 ${\rm Var}(u_t)={\rm Var}(u_{t-1})$ ,因此
$$
{\rm Var}(u_t)=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t-1})=\alpha_0+\alpha_1{\rm Var}(u_{t}) \ ,
$$
進而有
$$
{\rm Var}(u_t)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1} \ .
$$
這裡要求 $0<\alpha_1<1$
## ${\rm ARCH}(m)$ 模型
進而我們將模型擴充套件為一般的 ${\rm ARCH}(m)$ 模型,首先給出模型設定:
$$
u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,
$$
$$
\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2
$$
其中 $\{\varepsilon_t\}$ 是零均值標準方差的獨立同分布白噪聲 ${\rm WN}(0,\,1)$ ,並且 $\alpha_0>0\ ,\ \alpha_j\geq0\ ,\ j=1,2,\cdots,m$ 。一般假設為標準正態分佈或是標準化的 $t$ 分佈。
另外 $\{\alpha_j\}$ 還需要滿足使得 ${\rm Var}(u_t)$ 有限的條件,類似於 ${\rm AR}(p)$ 序列的平穩性的特徵根條件,並且
$$
\sum_{j=1}^m\alpha_j<1\ .
$$
模型設定中的第二個方程被稱為波動率方程。由於該方程的右側僅出現了截止到 $t-1$ 時刻的確定性函式而沒有新增的隨機擾動,所以稱 ${\rm ARCH}$ 模型為確定性的波動率模型。
設 $\mathcal{F}_{t-1}$ 表示 $t-1$ 期的全部歷史資訊,由 $\{\varepsilon_t\}$ 的獨立性知 $\{\varepsilon_t\}$ 和 $\mathcal{F}_{t-1}$ 獨立。
類似於 ${\rm ARCH}(1)$ 模型的無條件方差,可以利用全期望公式計算得到 ${\rm ARCH}(m)$ 模型的無條件方差如下:
首先計算條件方差
$$
\begin{aligned}
{\rm Var}(u_t|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)&=
{\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\
&=\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots) \\
&=\sigma_t^2
\end{aligned}
$$
進而計算無條件方差
$$
\begin{aligned}
{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&=
{\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|u_{t-1},u_{t-2},\cdots)\right] \\
&={\rm E}(\sigma_t^2) \\
&={\rm E}(\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\cdots+\alpha_mu_{t-m}^2) \\
&=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\cdots+\alpha_m{\rm E}(u_{t-m}^2)\ .
\end{aligned}
$$
由 $\{u_t\}$ 的平穩性 ${\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)=\cdots={\rm E}(u_{t-m}^2)$ 可以解得
$$
{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\displaystyle\sum_{j=1}^m\alpha_j} \ .
$$
以上就是常用的 ${\rm ARCH}$ 模型的性質。但我們也會發現 ${\rm ARCH}(m)$ 模型的具有如下缺點:模型中引入的都是擾動項 $u_t$ 的平方項,因此恆為正值,沒有考慮正、負擾動對於波動率的不對稱影響。此外,${\rm ARCH}$ 模型不能提供更多資訊來幫助理解方程的來源,僅僅提供一種方法來描述條件方差是如何變化的。
## ${\rm GARCH}$ 模型引入和模型設定
在之前的介紹中,${\rm ARCH}$ 模型用來描述波動率能得到很好的效果,但實際建模時可能需要較高的階數。提出了ARCH模型的一種重要推廣模型,稱為 ${\rm GARCH}$ 模型。
Tsay 在《金融時間序列分析》一書中引入了對數收益率 $r_t$ 的概念。事實上,對於一個對數收益率 $r_t$ 的新息序列
$$
u_t=r_t-{\rm E}(r_t|\mathcal{F}_{t-1}) \ ,
$$
常常用 ${\rm GARCH}$ 模型來刻畫 $\{u_t\}$ 序列的性質。下面給出一般情況下 ${\rm GARCH}(m,\,s)$ 的模型設定:
$$
u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ ,
$$
$$
\sigma_t^2=\alpha_0+\sum_{i=1}^m\alpha_iu_{t-i}^2+\sum_{j=1}^s\beta_j\sigma_{t-j}^2 \ ,
$$
其中,$\{\varepsilon_t\}$ 為零均值單位方差的獨立同分布白噪聲序列,$\alpha_0>0\ , \ \alpha_i\geq0\ , \ \beta_j\geq0$ ,並且
$$
0<\sum_{i=1}^m\alpha_i+\sum_{j=1}^s\beta_j<1
$$
這個條件用來保證滿足模型的的 $u_t$ 無條件方差有限且不變,而條件方差 $\sigma_t^2$ 可以隨時間 $t$ 的變化而變化。
## ${\rm GARCH}(1,\,1)$ 模型
下面以最簡單的 ${\rm GARCH}(1,\,1)$ 模型為例研究 ${\rm GARCH}$ 模型的性質。依然定義 $\mathcal{F}_{t-1}$ 表示截止到 $t-1$ 時刻的 $u_{t-i}$ 和 $\sigma_{t-j}$ 所包含的全部歷史資訊。首先寫出模型設定:
$$
u_t=\sigma_t\varepsilon_t \ , \ \ \ \ \varepsilon_t\sim{\rm i.i.d.}\,{\rm WN}(0,\,1)\ ,
$$
$$
\sigma_t^2=\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\ ,
$$
計算出條件期望:
$$
{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})={\rm E}(\sigma_t\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=\sigma_t{\rm E}(\varepsilon_t|\mathcal{F}_{t-1})=0 \ .
$$
這裡利用了 $\sigma_t\in\mathcal{F}_{t-1}$ 和 $\varepsilon_t$ 與 $\mathcal{F}$ 獨立。
進而計算無條件期望
$$
{\rm E}(u_t)={\rm E}[{\rm E}(u_t|\mathcal{F}_{t-1})]=0 \ .
$$
即 ${\rm GARCH}$ 模型的新息 $u_t$ 的無條件期望為零。
最後利用全期望公式計算無條件方差,假設 $\{u_t\}$ 序列存在嚴平穩解,則有
$$
\begin{aligned}
{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)&={\rm E}\left[{\rm E}(u_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[{\rm E}(\sigma_t^2\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right] \\
\\
&={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2|\mathcal{F}_{t-1})\right]={\rm E}\left[\sigma_t^2{\rm E}(\varepsilon_t^2)\right] \\
\\
&={\rm E}\left[\sigma_t^2\right]={\rm E}\left[\alpha_0+\alpha_1u_{t-1}^2+\beta_1\sigma_{t-1}^2\right] \\
\\
&=\alpha_0+\alpha_1{\rm E}(u_{t-1}^2)+\beta_1{\rm E}(\sigma_{t-1}^2) \\
\\
&=\alpha_0+(\alpha_1+\beta_1){\rm E}(u_{t-1}^2)\ .
\end{aligned}
$$
由 ${\rm E}(u_t^2)={\rm E}(u_{t-1}^2)$ 解得
$$
{\rm Var}(u_t)={\rm E}(u_t^2)=\frac{\alpha_0}{1-\alpha_1-\beta_1} \ .
$$
## ${\rm GARCH}(1,\,1)$ 預測波動率示例
首先寫出利用截止到 $h$ 時刻的觀測值作一步預測的波動率模型:
$$
\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2\in\mathcal{F}_h \ .
$$
因此有數學期望
$$
\sigma_h^2(1)={\rm E}(\sigma^2_{h+1}|\mathcal{F}_h)=\sigma_{h+1}^2=\alpha_0+\alpha_1u_{h}^2+\beta_1\sigma_h^2 \ .
$$
這說明對未來波動率的一步預測可以利用波動率模型直接給出。
繼續計算兩步預測:
利用 $u_t=\sigma_t\varepsilon_t$ 化簡 $\sigma_{h+2}^2$ :
$$
\begin{aligned}
\sigma_{h+2}^2&=\alpha_0+\alpha_1u_{h+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\
\\
&=\alpha_0+\alpha_1\sigma_{h+1}^2\varepsilon_{j+1}^2+\beta_1\sigma_{h+1}^2 \\
\\
&=\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2 \ .
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\sigma_h^2(2)&={\rm E}(\sigma^2_{h+2}|\mathcal{F}_h) \\
\\
&={\rm E}\left[\alpha_0+(\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1)\sigma_{h+1}^2|\mathcal{F}_h\right] \\
\\
&=\alpha_0+{\rm E}\left[\alpha_1\varepsilon_{h+1}^2+\beta_1|\mathcal{F}_h\right]\sigma_h^2(1) \\
\\
&=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(1) \ .
\end{aligned}
$$
類似地,可以求得遞推預測公式:
$$
\sigma_h^2(l)=\alpha_0+\left(\alpha_1+\beta_1\right)\sigma_h^2(l-1) \ ,
$$
迭代計算得
$$
\sigma_h^2(l)=\frac{\alpha_0\left[1-(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\right]}{1-(\alpha_1+\beta_1)}+(\alpha_1+\beta_1)^{l-1}\sigma_h^2(1) \ ,
$$
當 $l\to\infty$ 時,有
$$
\sigma_h^2(l)\to\frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\beta_1)}={\rm Var}(u_t) \ .
$$
即波動率的多步條件方差預測趨於的 $u_t$ 的無條件方差。
和 ${\rm ARCH}$ 模型類似,使用 ${\rm GARCH}$ 模型對於收益率的正負不對稱性仍然無法