線性代數導論-#11 基於矩陣A生成的空間：列空間、行空間、零空間、左零空間

本節課介紹和進一步總結了如何求出基於一個m*n矩陣A生成的四種常見空間的維數和基：

• 列空間C(A)，dim C(A) = r，基 = { U中主元列對應的原列向量 }；
• 行空間C(A^T)， dim C(A^T) = r，基 = { U中的主元行 }：

1.為什麽行空間不表示為R(A)而表示為C(A^T)？

因為轉置是矩陣的行與列之間的橋梁。

既然我們已經研究過列空間，通過轉置，我們可以將行空間視為轉置矩陣的列空間。

2.行空間與列空間之間有什麽聯系？

因為主元在轉置過程中數目不會發生變化，所以行空間和列空間的維數是相同的。

請思考：如何證明下圖中Prof. Strang右側的三個向量線性相關？

3.為什麽行空間的基可以直接取消元結果U中的主元行？

消元的過程中所進行的“行變換”，實質上是對各行的多次線性組合。

#10中我們已經學到，同一空間的兩個不同的基A、B聯系就是：B（或A）可以視為A（或B）的線性組合。

相反地，列空間會隨著消元發生變化，列空間的基不能夠直接取主元列。

• 零空間N(A)，dim N(A) = n-r，基 = { Ax=0的n-r個特解 }；
• 左零空間N(A^T)，dim N(A^T) = m-r，基 = { EA=U中的E的倒數m-r行 }：

　　　　1.為什麽N(A^T)叫“左零”空間？它與零空間有什麽聯系？

　　　　 其實零空間也可以叫“右零”空間。

　　　　 因為零空間是基於Ax=0的特解生成的，而左零空間是基於xA=0的特解生成的。

　　　　 換言之，零空間包含對列重組得到零向量的系數向量。左零空間包含對行重組得到零向量的系數向量。

　　　　 2.為什麽左零空間的基這樣求？

　　　　 這其實是一種特殊的技巧，利用了消元結果U中含有m-r個零行且零行位於底部的特征。

為了進一步理解這四種空間生成的本質、聯系與區別，在復雜情景下進行分析，請嘗試解出下面這題：

數學-線性代數導論-#11 基於矩陣A生成的空間：列空間、行空間、零空間、左零空間