計量經濟學導論12：格蘭傑因果關係檢驗
阿新 • • 發佈：2021-02-17
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# 格蘭傑因果關係檢驗
## 時間序列向量自迴歸模型
格蘭傑因果關係檢驗在時間序列計量經濟學模型中被廣泛採用，在討論其細節之前，我們需要對向量自迴歸模型作簡單的介紹。
### 向量自迴歸模型設定
將單個時間序列自迴歸模型擴充套件到多個時間序列，即構成向量自迴歸模型。寫出含有 $k$ 個時間序列，$p$ 階滯後的向量自迴歸模型 ${\rm VAR}(p)$ 表示如下：
$$
\boldsymbol{Y}_t=\boldsymbol\mu+\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{Y}_{t-1}+...+\boldsymbol{A}_p\boldsymbol{Y}_{t-p}+\boldsymbol{\varepsilon}_t \ , \ \ \ \ t=1,2,...,T \ .
$$
我們將矩陣形式展開寫， ${\rm VAR}(p)$ 模型包括：
$$
\boldsymbol{Y}_{t-i}=\left[
\begin{array}{c}
Y_{1,t-i} \\
Y_{2,t-i} \\
\vdots \\
Y_{k,t-i} \\
\end{array}
\right] \ ,\ \ \ \ i =0,1,2,\cdots,p \ .
$$
$$
\boldsymbol{A}_j=\left[
\begin{array}{cccc}
a_{11,j} & a_{12,j} & \cdots &a_{1k,j} \\
a_{21,j} & a_{22,j} & \cdots &a_{2k,j} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{k1,j} & a_{k2,j} & \cdots &a_{kk,j} \\
\end{array}
\right] \ , \ \ \ \ j=1,2,\cdots,p \ .
$$
$$
\boldsymbol\mu=(\mu_1,\mu_2\,...,\mu_k)^{\rm T} \ ,\ \ \ \ \boldsymbol\varepsilon_t=(\varepsilon_{1t},\varepsilon_{2t},...,\varepsilon_{kt})^{\rm T} \ .
$$
具體看一下 ${\rm VAR}(p)$ 模型的結構：
- $\boldsymbol{Y}_t$ 是 $k$ 維內生變數向量，$p$ 是滯後階數，樣本數目為 $T$ ；
- $\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\cdots,\boldsymbol{A}_p$ 是 $k\times k$ 係數矩陣；
- $\boldsymbol{\varepsilon}_t\sim N(\boldsymbol0,\,\boldsymbol\Sigma)$ 是 $k$ 維隨機擾動向量，它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯後項相關；
- $\boldsymbol\Sigma$ 是 $\boldsymbol\varepsilon_t$ 的協方差矩陣，是一個 $k\times k$ 的正定矩陣。
${\rm VAR}$ 模型主要是通過實際經濟資料而非經濟理論來確定的經濟系統的動態結構模型。
在建模的過程中只需明確兩個量，一個是所含變數個數 $k$ ，即共有哪些變數是相互有關係的，並且需要把這些變數包括在 ${\rm VAR}$ 模型中；另一個是自迴歸的最大滯後階數 $p$ ，使模型能反映出變數間相互影響的關係並使得模型的隨機誤差項 $\boldsymbol\varepsilon_t$ 是白噪聲。
${\rm VAR}$ 模型不存在識別問題和內生解釋變數問題，每個方程都可以看做獨立的方程進行普通最小二乘引數估計。
### 向量自迴歸模型的估計
模型最優滯後階數的確定：
- 一方面想要使得滯後階數足夠大，以便能充分利用所構造模型的變數資訊。
- 另一方面，滯後階數不能過大，因為滯後階數越大，需要估計的引數越多模型的自由度就越少，而通常資料有限，可能不足於估計模型。
- 常用準則：${\rm AIC}$ ，${\rm SC}$ 。
## 格蘭傑因果關係檢驗
原理：${\rm VAR}$ 模型解釋了某變數的變化受其自身及其他變數過去的行為的影響。當兩個變數在時間上有先導即滯後關係時，可以從統計上考察這種關係是單向的還是雙向的。
格蘭傑因果關係檢驗的表述如下：
在時間序列情形下，兩個經濟變數 $X$ 和 $Y$ 之間的格蘭傑因果關係定義為：若在包含了變數 $X$ 和 $Y$ 的歷史資訊的條件下，對變數 $Y$ 的預測效果只要優於只單獨由 $Y$ 的歷史資訊對 $Y$ 進行的預測效果，即變數 $X$ 有助於解釋變數 $Y$ 的將來的變化，則認為變數 $X$ 是變數 $Y$ 的格蘭傑原因。
考察 $X$ 是否影響 $Y$ 的問題，主要看當期的 $Y$ 能夠在多大程度上被過去的 $X$ 解釋，在 $Y_t$ 方程中加入 $X$ 的滯後項是否使解釋程度顯著提高。
首先建立 ${\rm VAR}$ 模型：
$$
Y_t=\sum_{i=1}^m\alpha_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^m\beta_iY_{t-i}+\mu_{1t} \ ,
$$
$$
X_t=\sum_{i=1}^m\lambda_iY_{t-i}+\sum_{i=1}^m\delta_iX_{t-i}+\mu_{2t} \ .
$$
有四種可能存在的因果關係：
- 若 $X$ 對 $Y$ 有單向影響：$\alpha$ 整體不為零，$\lambda$ 整體為零。
- 若 $Y$ 對 $X$ 有單向影響：$\alpha$ 整體為零，$\lambda$ 整體不為零。
- 若 $X$ 對 $Y$ 有單向影響：$\alpha$ 和 $\lambda$ 整體不為零。
- 若 $X$ 對 $Y$ 有單向影響：$\alpha$ 和 $\lambda$ 整體為零。
格蘭傑檢驗通過受約束的 $F$ 檢驗完成。例如：
$$
Y_t=\sum_{i=1}^m\alpha_iX_{t-i}+\sum_{i=1}^m\beta_iY_{t-i}+\mu_{1t} \ ,
$$
$$
H_0:\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_m=0 \ ,
$$
$$
F=\frac{({\rm SSR}_r-{\rm SSR}_{ur})/m}{{\rm SSR}_{ur}/(n-k)} \ .
$$
如果 $F>F_\alpha(m,\,n-k)$ 則拒絕 $X$ 不是 $Y$ 的格蘭傑原因的原假設。
$$
X_t=\sum_{i=1}^m\lambda_iY_{t-i}+\sum_{i=1}^m\delta_iX_{t-i}+\mu_{2t} \ ,
$$
$$
H_0:\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_m=0 \ ,
$$
$$
F=\frac{({\rm SSR}_r-{\rm SSR}_{ur})/m}{{\rm SSR}_{ur}/(n-k)} \ .
$$
如果 $F