1. 圖的定義

定義

• 圖（Graph）是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，通常表示為：G（V，E）

• G 表示一個圖，V 是圖 G 中頂點的集合，E 是圖 G 中邊的集合

• 線性表中我們把資料元素叫元素，樹中將資料元素叫結點，在圖中資料元素，我們則稱之為頂點（Vertex）

• 在圖結構中，不允許沒有頂點。在定義中，若 V 是頂點的集合，則強調了頂點集合 V 有窮非空

  • 線性表中可以沒有資料元素，稱為空表
  • 樹中可以沒有結點，叫做空樹

• 圖中，任意兩個頂點之間都可能有關係，頂點之間的邏輯關係用邊來表示，邊集可以是空的

  • 線性表中，相鄰的資料元素之間具有線性關係
  • 樹結構中，相鄰兩層的結點具有層次關係

各種圖定義

• 無向邊：若頂點 v_i 到 v_j 之間的邊沒有方向，則稱這條邊為無向邊（Edge），用無序偶對（v_i，v_j）來表示

• 有向邊：若從頂點 v_i 到 v_j 的邊有方向，則稱這條邊為有向邊，也稱為弧（Arc）

  • 用有序偶 <v_i，v_j> 來表示，v_i 稱為弧尾（Tail），v_j 稱為弧頭（Head）

• 簡單圖：在圖中，若不存在頂點到其自身的邊，且同一條邊不重複出現

• 無向完全圖：在無向圖中，如果任意兩個頂點之間都存在邊

• 有向完全圖：在有向圖中，如果任意兩個頂點之間都存在方向互為相反的兩條弧

• 有很少條邊或弧的圖稱為稀疏圖，反之稱為稠密圖

• 權（Weight）：與圖的邊或弧相關的數

  • 這些權可以表示從一個頂點到另一個頂點的距離或耗費
  • 這種帶權的圖通常稱為網（Network）

圖的頂點與邊間關係

• 對於無向圖 G=（V，{E}），如果邊（v，v'）屬於 E，則稱頂點 v 和 v' 互為鄰接點（Adjacent），即 v 和 v' 相鄰接
• 邊（v，v'）依附（incident）於頂點 v 和 v'，或者說（v，v'）與頂點 v 和 v' 相關聯
• 頂點 v 的度（Degree）是和 v 相關聯的邊的數目，記作 TD（v）
• 路徑的長度是路徑上的邊或弧的數目
• 第一個頂點到最後一個頂點相同的路徑稱為迴路或環（Cycle）
• 序列中頂點不重複出現的路徑稱為簡單路徑
• 除了第一個頂點和最後一個頂點之外，其餘頂點不重複出現的迴路，稱為簡單迴路或簡單環

連通圖相關術語

• 在無向圖 G 中，如果從頂點 v 到頂點 v' 有路徑，則稱 v 和 v' 是連通的。

• 如果對於圖中任意兩個頂點 v_i v_j 屬於 E ，v_i 和 v_j 都是連通的，則稱 G 是連通圖（Connected Graph）

• 無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量

  • 要是子圖
  • 子圖是連通的
  • 連通子圖含有極大頂點數
  • 具有極大頂點數的連通子圖包含依附於這些頂點的所有邊

• 在有向圖 G 中，如果對於每一對 v_i v_j 屬於 V，v_i 不等於 v_j，從 v_i 到 v_j 和從 v_j 到 v_i 都存在路徑，則稱 G 是強連通圖

• 有向圖中的極大強連通子圖稱做有向圖的強連通分量

• 連通圖的生成樹定義

  • 一個連通圖的生成樹是一個極小的連通子圖，它含有圖中全部的 n 個頂點，但只有足以構成一棵樹的 n-1 條邊
  • 如果一個有向圖恰有一個頂點的入度為 0，其餘頂點的入度為 1，則是一棵有向樹
  • 一個有向樹的生成森林由若干棵有向樹組成，含有圖中全部頂點，但只有足以構成若干棵不相交的有向樹的弧

2. 圖的抽象資料型別

ADT 圖(Graph)

Data
    頂點的有窮非空集合和邊的集合

Operation
    CreateGraph(*G,V,VR)：按照頂點集V和邊弧集VR的定義構造圖G
    DestroyGraph(*G)：圖G存在則銷燬
    LocateVex(G,u)：若圖G中存在頂點u,則返回圖中位置
    GetVex(G,v)：返回圖中頂點v的值
    PutVex(G,v,value)：將圖G中頂點v賦值給value
    FirstAdjVex(G,*v)：返回頂點v的一個鄰接頂點，若頂點在G中無鄰接頂點則返回空
    NextAdjVex(G,v,*w)：返回頂點v相對於頂點w的下一個鄰接頂點，若w是v的最後一個鄰接點則返回空
    InsertVex(*G,v)：在圖G中增加新頂點v
    DeleteVex(*G,v)：刪除圖G中頂點v及其相關的弧
    InsertArc(*G,v,w)：在圖G中新增弧<v,w>,若G是無向圖，還需要新增對稱弧<w,v>
    DeleteArc(*G,v,w)：在圖G中刪除弧<v,w>,若G是無向圖，則需要刪除對稱弧<w,v>
    DFSTraverse(G)：對圖G中進行深度優先遍歷，在遍歷過程對每個頂點呼叫
    HFSTraverse(G)：對圖G中進行廣度優先遍歷，在遍歷過程對每個頂點呼叫

endADT

3. 圖的儲存結構

鄰接矩陣

• 圖的鄰接矩陣（Adjacency Matrix）儲存方式是用兩個陣列來表示圖

  • 一個一維陣列儲存圖中頂點資訊
  • 一個二位陣列（稱為鄰接矩陣）儲存圖中的邊或弧的資訊

• 對稱矩陣：n 階矩陣的元滿足 a_ij = a_ji（0 <= i, j <= n）

鄰接表

• 陣列與連結串列相結合的儲存方法稱為鄰接表（Adjacency List）

  • 圖中頂點用一個一維陣列儲存，當然，頂點也可以用單鏈表來儲存，不過陣列可以較容易地讀取頂點資訊，更加方便
  • 另外，對於頂點陣列中，每個資料元素還需要儲存指向第一個鄰接點的指標，以便於查詢該頂點的邊資訊
  • 圖中每個頂點 v_i 的所有鄰接點構成一個線性表，由於鄰接點的個數不定，所以用單鏈表儲存，無向圖稱為頂點 v_i 的邊表，有向圖則稱為頂點 v_i 作為弧尾的出邊表

• 無向圖的鄰接表結構

  • 頂點表的各個結點由 data 和 firstedge 兩個域表示

    • data 是資料域，儲存頂點的資訊，
    • firstedge 是指標域，指向邊表的第一個結點，即此頂點的第一個鄰接點

  • 邊表結點由 adjvex 和 next 兩個域組成

    • adjvex 是鄰接點域，儲存某頂點的鄰接點在頂點表中的下標
    • next 則儲存指向邊表中下一個結點的指標

• 有向圖的逆鄰接表

  • 對每個頂點 v_i 都建立一個連結為 v_i 為弧頭的表
  • 對帶權值得網圖，可在邊表結點定義中再增加一個 weight 的資料域，儲存權值資訊即可

十字連結串列

• 重新定義頂點表結點結構

  • firstin 表示入邊表頭指標，指向該頂點的入邊表中第一個結點
  • firstout 表示出邊表頭指標，指向該頂點的出邊表中的第一個結點

• 重新定義邊表結點結構

  • tailvex 是指弧起點在頂點表的下標
  • headvex 是指弧終點在頂點表中的下標
  • headlink 是指入邊表指標域，指向終點相同的下一條邊
  • taillink 是指邊表指標域，指向起點相同的下一條邊
  • 如果是網，還可以增加一個 weight 域來儲存權值

鄰接多重表

• 重新定義邊表結點結構

  • ivex 和 jvex 是與某條邊依附的兩個頂點在頂點表中下標
  • ilink 指向依附頂點 ivex 的下一條邊
  • jlink 指向依附頂點 jvex 的下一條邊

邊集陣列

• 邊集陣列是由兩個一維陣列構成

  • 一個是儲存頂點的資訊
  • 另一個是儲存邊的資訊，這個邊陣列每個資料元素由一條邊的起點下標（begin），終點下標（end）和權（weight）組成

• 定義的邊陣列結構

  • begin 是儲存起點下標，end 是儲存終點下標，weight 是儲存權值

4. 圖的遍歷

從圖中某一頂點出發訪遍圖中其餘頂點，且使每一個頂點僅被訪問一次，這過程叫圖的遍歷

深度優先遍歷（Depth First Search，DFS）

• 對於連通圖

  • 從圖中某個頂點 v 出發，訪問此頂點，然後從 v 的未被訪問的鄰接點出發深度優先遍歷圖，直至圖中所有和 v 有路徑相通的頂點都被訪問到

• 對於非連通圖

  • 只需要對它的連通分量分別進行深度優先遍歷，即在先前一個頂點進行一次深度優先遍歷後，若圖中尚有頂點未被訪問，則另選圖中一個未曾被訪問的頂點作起始點，重複上述過程，直至圖中所有頂點都被訪問到為止

• 圖的深度優先遍歷類似樹的前序遍歷

• 深度遍歷更適合目標明確，以找到目標為主要目的

廣度優先遍歷（Breadth First Search，BFS）

• 圖的廣度優先遍歷就類似於樹的層序遍歷
• 廣度優先更適合在不斷擴大遍歷範圍時找到相對最優解

5. 最小生成樹

定義

• 構建連通網的最小代價生成樹

普利姆（Prim）演算法

• 以某頂點為起點，逐步找各頂點上最小權值的邊來構建最小生成樹

克魯斯卡爾（Kruskal）演算法

6. 最短路徑

定義

• 非網圖

  • 由於非網圖它沒有邊上的權值，所謂的最短路徑，其實就是指兩頂點之間經過的邊數最少的路徑

• 網圖

  • 對於網圖來說，最短路徑是指兩頂點之間經過的邊上權值之和最少的路徑，並且我們稱路徑上的第一個頂點是源點，最後一個頂點是終點

迪傑斯特拉（Dijkstra）演算法

弗洛伊德（Floyd）演算法

7. 拓撲排序

拓撲排序介紹

• AOV 網（Activity On Vertex Network）

  • 在一個表示工程的有向圖中，用頂點表示活動，用弧表示活動之間的優先關係，這樣的有向圖為頂點表示活動的網，我們稱為 AOV 網

• 拓撲序列

  • 設 G=(V, E) 是一個具有 n 個頂點的有向圖，V 中的頂點序列 v₁，v₂，······，v_n，滿足若從頂點 v_i 到 v_j 有一條路徑，則在頂點序列中頂點 v_i 必在頂點 v_j 之前。則我們稱這樣的頂點序列為一個拓撲序列

• 拓撲排序

  • 對一個有向圖構造拓撲序列的過程

  • 構造時會有兩個結果

    • 如果此網的全部頂點都被輸出，則說明它是不存在環（迴路）的 AOV 網
    • 如果輸出頂點數少了，哪怕是少了一個，也說明這個網存在環（迴路），不是 AOV 網

拓撲排序演算法

• 基本思路

  • 從 AOV 網中選擇一個入度為 0 的頂點輸出，然後刪除此頂點，並刪除以此頂點為尾的弧，繼續重複此步驟，直到輸出全部頂點或者 AOV 網中不存在入度 0 的頂點為止

8. 關鍵路徑

定義

• AOE 網

  • 在一個表示工程的帶權有向圖中，用頂點表示事件，用有向邊表示活動，用邊上的權值表示活動的持續時間，這種有向圖的邊表示活動的網，我們稱之為 AOE 網（Activity On Edge Network）
  • 沒有入邊的頂點稱為始點或源點
  • 沒有出邊的頂點稱為終點或匯點
  • 由於一個工程，總有一個開始一個結束，所以正常情況下，AOE 網只有一個源點一個匯點

• 路徑長度：路徑上各個活動所持續的時間之和

• 關鍵路徑：從源點到匯點具有最大長度的路徑

• 關鍵活動：在關鍵路徑上的活動

關鍵路徑演算法原理

• 找到所有活動的最早開始時間和最晚開始時間，並且比較它們，如果相等就意味著此活動是關鍵活動，活動間的路徑為關鍵路徑；如果不等，則就不是

• 引數定義

  • 事件的最早發生時間 etv（earliest time of vertex）

    • 即頂點 v_k 的最早發生時間

  • 事件的最晚發生時間 ltv（latest time of vertex）

    • 即頂點 v_k 的最晚發生時間，也就是每個頂點對應的事件最晚需要開始的時間，超出此時間將會延誤整個工期

  • 活動的最早開工時間 ete（earliest time of edge）

    • 即弧 a_k 的最早發生時間

  • 活動的最晚開工時間 lte（latest time of edge）

    • 即弧 a_k 的最晚發生時間，也就是不推遲工期的最晚開工時間

關鍵路徑演算法