【狀壓】ARC058E 和風いろはちゃん / Iroha and Haiku
是我想不到的的狀壓方式。
首先，條件中的“存在”比較麻煩，由於一個相同的數列可能包含多個滿足條件的三元組，用乘法原理直接正面剛會出現重複計數的情況。
正難則反，所以我們反向考慮用總的\(10^n\)的方案數減去不合法的數列。
注意到\(X+Y+Z\leq 17\)，所以可以考慮狀壓。
狀壓的方式非常不容易想到，具體是：
我們用二進位制位數來表示數字，例如：\(5->10000 \ ,\ 3->100\)
如果\(5\)後面是加上一個\(3\)，即序列的一個字尾是\(53\)，那麼這個狀態就用\(10000100\)表示（把兩個數的二進位制表示拼在一起）。同時，這個新的二進位制狀態的第\(8\)位是\(1\)
舉個更復雜的例子，假如字尾是\(536\)（五三打錢），我們的二進位制狀態就是\(10000100100000\)，那麼我們可以通過這個二進位制狀態得到所有\(536\)這個字尾的所有情況：
\(14\)（第\(14\)位上為\(1，14=5+3+6\)）
\(9\)（第\(9\)位上為\(1，9=3+6\)）
\(6\)（第\(6\)位上為\(1，6=6\)）
\(5\)（\(14-9=5=5\)）
\(8\)（\(14-6=8=5+3\)）
\(3\)（\(9-6=3=3\)）
（這實際上就是一種變相的字尾和）
那麼什麼樣的狀態表示俳句呢？
俳句是連續三段數，和分別為\(X,Y,Z\)，所以俳句對應的二進位制第\(X+Y+Z,Y+Z,Z\)位上都是\(1\)。
用這種方式表示狀態，狀態的最大位數就是最大和，所以狀態數是\(2^{X+Y+Z}\)種，在時空承受範圍之內。
關於\(dp\)過程，設\(dp[i][s]\)表示轉移到第\(i\)位，數列結尾的狀態為\(s\)的方案數。
轉移時列舉後繼數字(第\(i+1\)位)為\(j\)，那麼新的二進位制狀態就是\(s'=(s<<j)|(1<<(j-1))\)
則有\(dp[i+1][s']+=dp[i][s]\)
邊界情況\(dp[0][0]=1\)
另外，這裡有一點需要提一下，就是\(n\)的範圍比較大，而每個數字的範圍在\([1,10]\)，那麼最大的數字和應該是\(40\),但是我們只需要\(dp\)和是\(x+y+z\)的部分，因為這個是字尾和，前面的數不管是啥並不重要，我們的\(i\)指標在不斷移動的時候，就計算了不同位置的方案。
►Code View
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define N 45
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 1000000007
#define LL long long
int rd()
{
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar();}
return f*x;
}
int n,x,y,z;
LL dp[N][1<<18];
LL ksm(LL a,LL b)
{
LL res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%MOD;
a=a*a%MOD;
b>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
n=rd(),x=rd(),y=rd(),z=rd();
int jdg=((1<<(x+y+z-1))|(1<<(y+z-1))|(1<<(z-1)));
dp[0][0]=1;
int sum=(1<<(x+y+z))-1;//最高位是x+y+z-1 所以最大和就是所有位數都是1 也就是2^(x+y+z)-1
for(int i=0;i<=n-1;i++)
for(int s=0;s<=sum;s++)
{
if(dp[i][s]==0) continue;//不會產生貢獻
for(int j=1;j<=10;j++)//列舉第i+1位是什麼數字
{
int t=(s<<j)|(1<<(j-1));
t&=sum;//防止溢位
if((t&jdg)==jdg) continue;//存在俳句
else dp[i+1][t]=(dp[i+1][t]+dp[i][s])%MOD;
}
}
LL ans=0;
for(int s=0;s<=sum;s++)
ans=(ans+dp[n][s])%MOD;
ans=(ksm(10,n)-ans+MOD)%MOD;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}