正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P6085

題目大意

\(n\)個點的一張無向圖，有\(k\)條必走邊，\(m\)條其他邊，求從\(1\)出發經過必走邊後回到起點的最短路徑。

\(2\leq n\leq 13,0\leq k\leq 78,2\leq m\leq 200\)

解題思路

可以理解為在只包含必走邊的圖上加若干條其他邊使得這張圖存在歐拉回路。

歐拉回路要求所有點聯通且度數為偶數，考慮狀態壓縮\(dp\)，設三進位制的狀態。

\(f_s\)，\(0\)表示沒有聯通，\(1\)表示度數為奇數，\(2\)表示度數為偶數。

然後先考慮加點進來的方式，也就是加進來的點我們只考慮不是必須的邊的部分。而且使用這些點類似於一棵樹的連線聯通的點。（並不是連線成真正的樹，而是如果使用了不必須的邊的話只和一個點聯通）

然後處理完後再考慮調整圖的奇偶性，設\(g_S\)表示集合\(S\)中的點為奇數時調整為偶數的最小代價。

然後用\(f\)和\(g\)計算答案就好了。

時間複雜度\(O(3^nn^2)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=14;
struct node{
	int to,next;
}a[N*N];
int n,k,m,tot,ans,sta,st,ls[N],p[N],deg[N];
int dis[N][N],g[1<<N],f[1594323];
queue<int> q;
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
int main()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(g,0x3f,sizeof(g));
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	scanf("%d%d",&n,&k);p[0]=1;dis[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=p[i-1]*3,dis[i][i]=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int x,y,w;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);x--;y--;
		addl(x,y);addl(y,x);dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],w);
		deg[x]++;deg[y]++;sta^=(1<<x)^(1<<y);ans+=w;
	}
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y,w;
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);x--;y--;
		dis[x][y]=dis[y][x]=min(dis[x][y],w);
	}
	for(int k=0;k<n;k++)
		for(int i=0;i<n;i++)
			for(int j=0;j<n;j++)
				dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);
	int MS=(1<<n);g[0]=0;
	for(int s=0;s<MS;s++)
		for(int i=0;i<n;i++){
			if((s>>i)&1)continue;
			for(int j=i+1;j<n;j++)
				if(!((s>>j)&1)){
					int z=s^(1<<i)^(1<<j);
					g[s^z]=min(g[s^z],g[s]+dis[i][j]);
				}
		}
	q.push(2);f[2]=0;
	while(!q.empty()){
		int s=q.front();q.pop();
		for(int x=0;x<n;x++){
			if(s/p[x]%3)continue;
			int t=s+p[x]*2;
			for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
				int y=a[i].to;
				if(!(s/p[y]%3))continue;
				if(f[t]>=g[MS])q.push(t);
				f[t]=min(f[t],f[s]);
			}
			for(int y=0;y<n;y++){
				if(!(s/p[y]%3))continue;
				t=s+p[x];
				if((t/p[y]%3)==2)t-=p[y];
				else t+=p[y];
				if(f[t]>=g[MS])q.push(t);
				f[t]=min(f[t],f[s]+dis[x][y]);
			}
		}
	}
	int mins=g[MS];
	for(int s=0;s<p[n];s++){
		bool flag=0;int st=0;
		for(int i=0;i<n;i++){
			if((s/p[i]%3)==0&&deg[i]){flag=1;break;}
			if(s/p[i]%3)st|=(1<<i)*(2-s/p[i]%3);
		}
		if(flag)continue;st^=sta;
		mins=min(mins,f[s]+g[st]);
	}
	printf("%d\n",ans+mins);
	return 0;
}