SPFA演算法是對Bellman-ford演算法的優化，

優化的思想：Bellman-ford演算法是遍歷所有邊，對邊進行鬆弛操作，但是如果前一個邊的距離沒有變化，那麼後一個邊的距離也不會變化。通過這個特性，我們可以將變化距離的點存在佇列中，只對這些點的後繼點進行鬆弛操作。

SPFA演算法的時間複雜度為O(m)-O(nm)，m為邊數，n為點數，最壞情況與Bellman-ford演算法相同。

acwing851. spfa求最短路

給定一個n個點m條邊的有向圖，圖中可能存在重邊和自環， 邊權可能為負數。

請你求出1號點到n號點的最短距離，如果無法從1號點走到n號點，則輸出impossible。

資料保證不存在負權迴路。

輸入格式：

第一行包含整數n和m。

接下來m行每行包含三個整數x，y，z，表示存在一條從點x到點y的有向邊，邊長為z。

輸出格式：

輸出一個整數，表示1號點到n號點的最短距離。

如果路徑不存在，則輸出”impossible”。

資料範圍：

1≤n,m≤1e5

圖中涉及邊長絕對值均不超過10000。

輸入樣例：

3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4

輸出樣例：

2

模板程式碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace
 
 std;
typedef pair<int,int>pii;
const int N=1e5+10;
int n,m;
int d[N];
int f[N];
vector<pii>v[N];
int spfa()
{
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    d[1]=0;
    queue<int>q;
    q.push(1);
    f[1]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        f[t]=0;
        
 
for(int i=0;i<v[t].size();i++)
        {
            pii y=v[t][i];
            if(d[y.first]>y.second+d[t])
            {
                d[y.first]=y.second+d[t];
                if(!f[y.first])
                {
                    f[y.first]=1;
                    q.push(y.first);
                }
            }
        }
    }
    if(d[n]>0x3f3f3f3f/2) return -1;//存在負權邊
    return d[n];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int x,y,w;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        v[x].push_back({y,w});
    }
    int k=spfa();
    if(k==-1) printf("impossible\n");
    else printf("%d\n",k);
    
    return 0;
}

acwing852. spfa判斷負環

給定一個n個點m條邊的有向圖，圖中可能存在重邊和自環， 邊權可能為負數。

請你判斷圖中是否存在負權迴路。

輸入格式

第一行包含整數n和m。

接下來m行每行包含三個整數x，y，z，表示存在一條從點x到點y的有向邊，邊長為z。

輸出格式

如果圖中存在負權迴路，則輸出“Yes”，否則輸出“No”。

資料範圍

1≤n≤2000

1≤m≤10000,
圖中涉及邊長絕對值均不超過10000。

輸入樣例：

3 3
1 2 -1
2 3 4
3 1 -4

輸出樣例：

Yes

分析：引入cnt陣列，記錄每個點到點1所需要的邊數，當某個點的cnt邊數大於等於n時，說明，在求1到這個點的路徑上出現了負環。

程式碼：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int M=1e4+10,N=2e3+10;
typedef pair<int,int>pii;
int n,m;
vector<pii>v[N];
int d[N];
bool f[N];
int cnt[N];
int spfa()
{
    queue<int>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        d[i]=0x3f3f3f3f;
        f[i]=1;
        q.push(i);
    }
    while(!q.empty())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        f[t]=0;
        for(int i=0;i<v[t].size();i++)
        {
            pii y=v[t][i];
            if(d[y.first]>y.second+d[t])
            {
                d[y.first]=y.second+d[t];
                cnt[y.first]=cnt[t]+1;
                if(cnt[y.first]>=n) return true;
                if(!f[y.second])
                {
                    q.push(y.first);
                    f[y.first]=1;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int x,y,w;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        v[x].push_back({y,w});
    }
    int k=spfa();
    if(k) printf("Yes\n");
    else printf("No\n");
    return 0;
}