Notes: Kirchhoff's Matrix 基爾霍夫矩陣
Notes: Kirchhoff's Matrix 基爾霍夫矩陣
一般說來，我部落格裡的 \(\LaTeX\) 通常都沒什麼用。不過我很高興，但是這回不是了。
眾所周知地，基爾霍夫矩陣（Kirchhoff's Matrix）是用以解決圖上生成樹計數問題的。
接下來我們分有向圖無向圖的情況考慮一下。
無向圖上的基爾霍夫矩陣
Theorem
考慮一個含有 \(n\) 個點的無向圖 \(G\)，我們定義度數矩陣 \(D(G)\) 為：
\[\large D(G)_{ij} = \cases{ 0 & $i \not=j$ \\ \deg(i) & $i =j$ } \]其中 \(\deg(i)\)
我們定義鄰接矩陣 \(A(G)\) 為：
\[\large A(G)_{i,j} = \cases { {\rm edg}(i,j) & $i \not= j$ \\ 0 & $i = j$ } \]其中 \({\rm edg}(i, j)\) 是結點 \(i\) 與結點 \(j\) 之間連邊的數量。
（這顯然是我們考慮生成樹問題時的關鍵指標嘛
矩陣樹定理指出，如果我們定義基爾霍夫矩陣 \(K(G)\) 為：
\[\large K(G) = D(G) - A(G) \]那麼，取 \(K(G)\) 的任一 \(n - 1\) 階主子式 \(K'(G) = K(G) \begin{pmatrix} 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots n \\ 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots n \end{pmatrix}\)
我們有生成樹個數 \(ans\) 就是 \(K'\) 的行列式，也即是說：
\[\large ans = \det (K'(G)) \]等價地，設 \(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_{n-1}\) 是 \(K(G)\) 的 \(n - 1\) 個非零特徵值，我們也有：
\[\large ans = \frac{1}{n}\cdot \prod _ {i = 1} ^ {n - 1} \lambda_i \]證明留給讀者（逃
Hints
主子式：
\(K'(G) = K(G) \begin{pmatrix} 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots n \\ 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots n \end{pmatrix}\)
第 \(1,\dots,i-1,i+1,\dots,n\) 行，與第 \(1,\dots,i-1,i+1,\dots,n\) 構成的子矩陣。
取出 \(k\) 行 \(k\) 列的子矩陣被稱為原矩陣的 \(k\) 階主子式。
行列式的求法：
定義是這樣：
\[\large \det(A) = \sum_{s \in S} {\rm sgn}(s) \cdot\prod_{i=1}^n A_{i,s_i} \]其中 \(S\) 是所有 \(1\sim n\) 的排列構成的集合，\(s_i\) 表示排列 \(s\) 中的第 \(i\) 個數。
其中 \({\rm sgn}(s)\) 表示 \(s\) 中逆序對數量的奇偶性，奇數為 0 ，偶數為 1 。
這個定義複雜得幾乎不可求，有時我們會選擇將行列式展開求解：
考慮行列式：
\[\large A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \]我們把 \(A\) 的第 \(i\) 行與第 \(j\) 列去掉後留下了的行列式稱為 \(a_{ij}\) 的餘子式，記作 \(M_{ij}\) 。
然後定義一個叫做代數餘子式的東西 \(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\) ，
如果選定固定的一行 \(k\) ，行列式的值 \(D\) 就滿足
\[\large D = \sum _ {j = 1} ^ n a_{kj}\cdot A_{kj} \]選定固定的一行 \(k\) 也是一樣的：
\[\large D = \sum _ {i = 1} ^ n a_{ik}\cdot A_{ik} \]證明顯然。
不過行列式展開還是太煩了，我們還有別的招。
我們知道行列式有個性質，就是考慮行列式 \(A\) 的任意兩個行向量 \(v_i,v_j\) （列向量也一樣，略）
若進行操作令 \(v_i = v_i + k \cdot v_j\) 行列式的值不變。
於是我們可以高斯消元把原行列式化成行列梯式（簡單理解為對角線的某一側全都是 0 ）
顯然，
\[\large D = \prod _ {i = 1} ^ n a'_{ii} \]這個複雜度是 \(O(n^3)\) 的，完全可以接受。
class Matrix {
#define rep(a, b, c) for(int a = b; a <= c; ++a)
private:
vector<vector<double> > mat;
public:
inline void init(int n) {
mat.resize(n + 1);
for(int i = 1; i <= n; ++i)
mat[i].resize(n + 1);
}
int length() {
return mat.size() - 1;
}
double &operator () (int i, int j) {
return mat[i][j];
}
double det() {
int n = length();
rep(i, 1, n) {
int p = i;
rep(j, i + 1, n)
if(fabs(mat[j][i]) > fabs(mat[p][i])) p = j;
if(p != i) {
rep(j, i ,n) swap(mat[i][j], mat[p][j]);
}
rep(j, i + 1, n) {
double tmp = mat[j][i] / mat[i][i];
rep(k, 1, n) mat[j][k] -= mat[i][k] * tmp;
}
}
double ans = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
ans *= mat[i][i];
return ans;
}
};
特徵值的求法：
其實我不太會。上網找到一篇 https://zhuanlan.zhihu.com/p/61363638 大家可以參考。
有向圖上的基爾霍夫矩陣
Theorem
有向圖上結點的度分為入度和出度，很自然地，我們定義入度矩陣和出度矩陣：
\[\large D(G)_{ij}^{\rm out} = \cases{ 0 & $i \not=j$ \\ {\rm deg^{out}}(i) & $i =j$ } \\[1cm] \large D(G)_{ij}^{\rm in} = \cases{ 0 & $i \not=j$ \\ {\rm deg^{in}}(i) & $i =j$ } \]不用說，其中 \({\rm deg^{out}}(i)\) 為結點 \(i\) 的出度，\({\rm deg^{in}}(i)\) 為結點 \(i\) 的入度。
鄰接矩陣定義不變：
\[\large A(G)_{i,j} = \cases { {\rm edg}(i,j) & $i \not= j$ \\ 0 & $i = j$ } \]同樣定義出入度基爾霍夫矩陣：
\[\large K(G)^{\rm out} = D(G)^{\rm out} - A(G) \\[0.4cm] \large K(G)^{\rm in} = D(G)^{\rm in} - A(G) \]接下來……
等等，還沒定義有向圖上的生成樹吧？
我們記 \(ans_f\) 表示所有邊都從兒子指向父親的生成樹個數， \(ans_s\) 表示所有邊都從父親指向兒子的生成樹個數。
類似地有：
\[\large \begin{align*} ans_f(i) =\det(~~ K(G)^{\rm out} &\begin{pmatrix} 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots n \\ 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots n \end{pmatrix} ~~) \\[0.2cm] ans_s(i) =\det(~~ K(G)^{\rm in~} &\begin{pmatrix} 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots n \\ 1 & \dots & i - 1 & i + 1 & \dots n \end{pmatrix} ~~) \end{align*} \]其中 \(i\) 是根節點的編號，求總數你得列舉做 \(\sum\)
證明留給讀者。