Solution Set -「ARC 107」
阿新 • • 發佈：2020-11-02
「ARC 107A」Simple Math
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答案為：
\[\frac{a(a+1)\cdot b(b+1)\cdot c(c+1)}{8} \]「ARC 107B」Quadruple
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列舉 \(i=c+d\)，則 \(a+b=i+k\)，乘法原理計數。
「ARC 107C」Shuffle Permutation
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由於矩陣內無相等元素，所以行和列的順序可以直接乘法原理。以對行的排列方案計數為例，並查集維護所有可以交換位置的行，則行的方案為每個集合大小的階乘之積。列同理。
「ARC 107D」Number of Multisets
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我真的傻了啊這題都想不出來。
DP，令 \(f(i,j)\) 表示 \(n=i,k=j\) 時的答案。利用當 \(i<j\)，\(f(i,j)=0\) 的邊界，有轉移：
\[f(i,j)=f(i,2j)+f(i-1,j-1) \]自行理解。複雜度 \(\mathcal O(nk)\)。
「ARC 107E」Mex Mat
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結論：\((\forall i,j>4)(a_{ij}=a_{i-1,j-1})\)。手玩一下可以證明。（
寫的時候可以用 std::vector，這樣直接在同一個“陣列”上二維下標引用會舒服一點。
複雜度 \(\mathcal O(n)\)
「ARC 107F」Sum of Abs
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首先考慮把絕對值轉化一下，對於一個集合 \(\{a\}\)，顯然有：
\[|\sum a|=\max\{\sum a,\sum-a\} \]也就是說，一個聯通塊內的數可以同時取負。
從資料範圍 \(n,m\le300\) 又想到最小割。不妨先獲得所有 \(|b_i|\) 的收益，然後建圖描述刪點的操作。
一種建圖如下（\(b_1\ge 0,b_2<0\)，圖中 \(i\) 應為 \(2\)，抱歉 qwq）：
\(i+\) 表示這個點在聯通塊中作正貢獻，\(i-\) 則相反。割去 \(\langle i+,i-\rangle\)