\(\mathscr{Summary}\)

  還行，B 題挺不錯，C 題就省選來說有點水（？

\(\mathscr{Solution}\)

\(\mathscr{A-}\) 分裂

  初始時，你有一個 \(1\) 級球，每次可以把一個 \(k\) 級球變成 \(k+1\) 個 \(k+1\) 級球，請構造恰好得到 \(n\) 個球的方案，僅需輸出最終球的等級和對應數量。

  多測，\(T\le10^4\)，\(n\le10^{18}\)，你需要保證所有方案中球的等級種類之和不超過 \(10^7\)。

  一開始去優化“球的數量之和”，大大地偽了一發。

  注意部分分有個 \(n\) 是階乘，而階乘的時候等級種類自然是最少的，所以我們先找到最大的 \(x!\le n\)

  階乘的是指數級，那麼複雜度為 \(\mathcal O(T\log n)\)，每次使用不超過 \(4\) 種等級。

\(\mathscr{B}-\) 未來

  給定長度為 \(n\)，字符集為 \(\{\text r,\text g,\text b\}\) 的字串 \(S\)

  \(n\le5\times10^5\)。

  套路性地去想一個具有交換律、結合律的整數運算來等價表示兩個字元的運算結果。進而，令三種字元為 \(0,1,2\)，可以構造出這樣的運算：\(a\oplus b=(-(a+b))\bmod 3\)，並且這個負號僅由 \(m\) 決定，問題被轉化成：給定序列 \(\{a_n\}\)

  若 \(a_i\) 的值在下標移動 \(d\) 次後更新到了 \(a_j\)，那麼貢獻係數顯然是 \(\binom{m}d\)，注意僅對 \(3\) 取模，所以對它 Lucas 一發，設 \(m=\sum 3^{m_k}\) 為 \(m\) 的三進位制分解（如果某個冪次數是 \(2\)，加兩次），就組合意義上，我們可以依次對 \(\{a_n\}\) 施加 \(3^{m_1}\) 次操作，再施加 \(3^{m_2}\) 次操作，……最後總共施加 \(m\) 次操作。每次操作中，貢獻係數都是 \(\binom{3^{m_i}}{d}\)，因而 \(d=0\) 或 \(d=3^{m_i}\) 時，才能使係數非 \(0\)，這個可以 \(\mathcal O(n)\) 模擬一遍算出來，所以總複雜度 \(\mathcal O(n\log m)\)。

\(\mathscr{C}-\) 回憶

  給定一個 \(n\times m\) 的網格，\((i,j)\) 以 \(a_{i,j}\) 的概率可用，求可用單元格構成的四聯通塊中，最大塊大小的期望。

  \(nm\le40\)。

  你能想到最暴力的插頭 DP：按列轉移，狀態陣列直接 map<pair<vector<int>, vector<int> >, int>，過了。打了下表，有效狀態數不超過 \(10^5\)。