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BSGS演算法 學習筆記

文章目錄

• BSGS演算法 學習筆記
• • 簡介
  • 前置知識
  • 演算法思想
  • 例題
  • 參考程式碼

簡介

BSGS(Baby-step Giant-step，大步小步，北上廣深，拔山蓋世)演算法，是用來求解高次同餘方程 a x ≡ b ( m o d n ) , a ⊥ n a^x\equiv b\pmod n,a\perp n ax≡b(modn),a⊥n，或者換個寫法 x ≡ log ⁡ a b ( m o d n ) x\equiv\log_ab\pmod n x≡loga​b(modn)，即離散對數。

前置知識

尤拉定理： a φ ( n ) ≡ 1 ( m o d n ) , a ⊥ n a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n,a\perp n

演算法思想

我們根據尤拉定理， a x   m o d   n a^x\bmod n axmodn的值每經過 φ ( n ) \varphi(n) φ(n) 就會有個迴圈，所以理論上我們只要看看 x ∈ [ 1 , φ ( n ) ] x\in[1,\varphi(n)] x∈[1,φ(n)] 內有沒有 x x x 滿足 a x ≡ b a^x\equiv b ax≡b。

其實也並不一定非得是 φ ( n ) \varphi(n) φ(n) 吧，檢驗的範圍再大一點也不影響結果，為了省去這個求 φ ( n ) \varphi(n) φ(n) 的過程~~（分解因數怪麻煩的）~~，我們直接檢驗 x ∈ [ 1 , n − 1 ] x\in [1,n-1]

演算法採用一種分塊解決的思想，這也是 “大步” “小步” 的由來。下面是演算法的推導過程。

a x ≡ b ( m o d n ) a^x\equiv b\pmod n ax≡b(modn)

設定一個引數 k k k ，把 x x x 寫成一種稍有改變的“帶餘除法”的形式。

x = p k − q ( 1 ≤ p ≤ ⌊ n k ⌋ + 1 , 1 ≤ q ≤ k ) x=pk-q(1\le p\le\lfloor \dfrac{n}{k}\rfloor+1,1\le q \le k)

這樣 x x x 的值域可以包含 [ 0 , n − 1 ] [0,n-1] [0,n−1] 的整個區間。

於是

a p k − q ≡ b ( m o d n ) a^{pk-q}\equiv b\pmod n apk−q≡b(modn)

a p k ≡ b a q ( m o d n ) a^{pk}\equiv ba^q\pmod n apk≡baq(modn)

把這個式子分成左右兩部分，先列舉 q ∈ [ 1 , k ] q\in[1,k] q∈[1,k]，計算處所有的 b a q   m o d   n ba^q\bmod n baqmodn，存入一個HASH表中。接下來，只要再列舉 p ∈ [ 1 , ⌊ n k ⌋ + 1 ] p\in[1,\lfloor \dfrac{n}{k}\rfloor+1] p∈[1,⌊kn​⌋+1] ，計算 a p k a^{pk} apk，在HASH表中查詢是否存在這樣的 q q q 滿足上面那個等式即可。如果有多個 q q q，應選擇最大的那個，這樣可以使得 x = p k − q x=pk-q x=pk−q 最小。

時間複雜度為 O ( k + ⌊ n k ⌋ ) \mathcal O(k + \lfloor \dfrac{n}{k}\rfloor) O(k+⌊kn​⌋)，顯然當 k = n k=\sqrt n k=n ​ 時有最小複雜度為 O ( n ) \mathcal O(\sqrt n) O(n ​)。

例題

P3846 [TJOI2007] 可愛的質數/【模板】BSGS

參考程式碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
char In[1 << 20], *ss = In, *tt = In;
#define getchar() (ss == tt && (tt = (ss = In) + fread(In, 1, 1 << 20, stdin), ss == tt) ? EOF : *ss++)
ll read() {
	ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for(; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if(ch == '-') f = -1;
	for(; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + int(ch - '0');
	return x * f;
}
#define ing long long
namespace HS {
	const int MAXNODE = (1 << 16) + 10;
	const int BS = 1491001;
	int nxt[MAXNODE], num[MAXNODE], val[MAXNODE], cnt, head[BS];
	int hs(int x) {
		return x % BS;
	}
	void ins(int x, int i) {
		int key = hs(x);
		num[++cnt] = x; val[cnt] = i; nxt[cnt] = head[key]; head[key] = cnt;
	}
	int qry(int x) {
		int key = hs(x);
		int mx = -1;
		for(int i = head[key]; i; i = nxt[i]) 
			if(num[i] == x) mx = max(mx, val[i]);
		return mx;
	}
}
int qpow(int a, int n, int mod) {
	int ret = 1;
	for(; n; n >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
		if(n & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
	return ret;
}
int p, b, n, m;
signed main() {
	p = read(), b = read(), n = read();
	if(b % p == 0 && n) {
		printf("no solution\n");
		return 0;
	}
	m = sqrt(p);
	for(int i = 1, k = 1ll * n * b % p; i <= m; i++, k = 1ll * k * b % p)
		HS::ins(k, i);
	for(int i = 1, bas = qpow(b, m, p), k = bas; i <= m+1; i++, k = 1ll * k * bas % p) {
		int t = HS::qry(k);
		if(t != -1) {
			printf("%lld\n", 1ll * m * i - t);
			return 0;
		}
	}
	printf("no solution\n");
	return 0;
}