P1118 [USACO06FEB]Backward Digit Sums G/S

題解：
  （1）暴力法。對1～N這N個數做從小到大的全排列，對每個全排列進行三角形的計算，判斷是否等於N。
  對每個排列進行三角形計算，需要O(N²)次。例如第1行有5個數{a,b,c,d,e}，那麼第2行計算4次，第3行計算3次…等等，總次數是O(N²)的。
  a    b    c    d    e
    a+b    b+c   c+d   d+e
      a+2b+c b+2c+d c+2d+e
       a+3b+3c+d b+3c+3d+e
          a+4b+6c+4d+e
  共有N!=4億個排列，總複雜度是O ( N ! N ²

不同的N有不同的係數，比如5個數的係數是{1,4,6,4,1}，提前算出所有N的係數備用。可以發現，這些係數正好是楊輝三角。
  2）剪枝。即使有了楊輝三角的優化，總複雜度還是有O(N!N)，所以必須進行最優性剪枝。對某個排列求三角形和時，如果前面幾個元素和已經大於sum，

那麼後面的元素就不用再算了。例如，N=9時，計算到排列{2,1,3,4,5,6,7,8,9}，如果前5個元素{2,1,3,4,5}求和已經大於sum，那麼後面的{6,7,8,9}～{9,8,7,6}都可以跳過，

下一個排序從{2,1,3,4,6,5,7,8,9}開始。本題sum≤12345，和不大，用這個簡單的剪枝方法可以通過。
  3）可以用DFS求全排列，也可以直接用STL 的next_permutation()求全排列。

#include <cstdio>
using namespace std;

int n,sum;
//以下所有陣列的大小都比所需值稍大，是為了防止越界
int visited[25]={0}; //防止重複選數，這是 dfs 列舉排列的要點
int ans[25]; //放置答案
int pc[25];//構造所有i C n-1

int dfs(int i,int num,int
 
 v); //寫函式原型是（我的）好習慣！

int main(void){
    scanf("%d%d",&n,&sum);
    //下面構造楊輝三角(即組合數表)
    pc[0]=pc[n-1]=1; //楊輝三角性質,兩邊都是1
    if (n>1)
        for (int i=1;i*2<n;i++)
            pc[i]=pc[n-1-i]=(n-i)*pc[i-1]/i; //利用楊輝三角對稱性和組合數公式計算
    //下面列舉計算
    if (dfs(0,0,0)) //0 僅起佔位符作用
        for (int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",ans[i]); //輸出答案
    return 0;
}

int dfs(int i,int num,int v){
//引數說明：i 表示已經枚舉了前 i 個數(數的序號從 1 開始),num 表示第 i 個數是 num，v 表示前 i 個數的“和”為 v
//返回值說明:返回 0 表示不行(不可能)，返回 1 表示找到了可行解。利用返回值就可以在找到第一個解後直接返回了
    if (v>sum) //“剪枝”，及時排除不可能情況，加速列舉
        return 0; //不可能
    if (i==n){ //已經枚舉了前 n 個（全部）,判斷一下是否是可行解
        if (v==sum){
            ans[i]=num; //放置解
            return 1;
        }
        else
            return 0;
    }
    visited[num]=1; //標記一下“第 i 個數的值已經使用過了”
    //下面尋找第 i+1 個數
    for (int j=1;j<=n;j++){
        if (!visited[j] && dfs(i+1,j,v+pc[i]*j)){ //v+pc[i]*j表示前(i+1)個數的“和”
            //注意，如果數的序號從 1 開始，那麼第 i 個數的係數實際上是 (i-1) C (n-1)
            //執行到這裡表示已經找到了可行的解
            ans[i]=num;
            return 1;
        }
    }
    visited[num]=0; //如果沒有找到，一定記得復位，為進一步的尋找做準備
    return 0; //執行到這裡一定是沒有找到解
}