動態規劃之最大和子陣列

給定一個整數陣列 nums ，找到一個具有最大和的子陣列（子陣列最少包含一個元素），返回其最大和

輸入: [-2,-1,-3,4,-1,2,1,-5]
輸出: 6
解釋: 連續子陣列 [4,-1,2,1] 的和最大，為 6。

解題思路

使用動態方程解題就需要題目符合動態方程解法，動態方程的兩個思路：

1. 將大的問題拆解成小一點問題，小問題和大問題的解決思路是類似的
2. 小問題之間的關係能完成大問題的最優解

建立數學模型

求陣列arr中最大和的子陣列，建立一個子陣列和的列表dp。其中dp[i]代表著以第i-1個元素結尾的陣列的最大和。

一般情況下，我們可以用dp[i]代表以第 i 個元素結尾的子陣列的最值，而遞推關係就是考慮和dp[i-1]之間的關係

邊界值

dp[i]代表這以第i-1個元素結尾的子陣列的最大和，所以dp[0]就是邊界值。當陣列只有一個元素時，該元素就是陣列的最大和

狀態轉移方程

狀態轉移方程是最難寫的，但是我們要迎難而上。下面分析一下該狀態如何轉移。

這裡用dp[i]代表以第 i 個元素結尾的子陣列的最大和，則max(dp[i])就是要求的最終結果，那麼關鍵是如何寫出遞推關係式。

轉化後模型：
求i=7結尾的最大和。求i=7時，要知道前面的前一個dp[7-1]的值。比較 dp[6] + nums[7] 和 nums[7] 的大小，大的那一個就是dp[7]的值，也就是以 第7個元素結尾的子陣列的最大值。

這裡求8個元素的最大和的子陣列，這個大問題可以拆解成小問題，即求8個元素的最大和的子陣列，繼續拆解可以為求7個元素的最大和的子陣列，一直到求1個元素的最大和子陣列。

-2,-1,-3,4,-1,2,1,-5
-2,-1,-3,4,-1,2,1
-2,-1,-3,4,-1,2
-2,-1,-3,4,-1
-2,-1,-3,4
-2,-1,-3
-2,-1
-2

小問題之間的聯絡，可以完成大問題的最優解。

-2 最大和就是-2
-2,-1 以-1結尾的最大和為-1，因為前i-1個元素+i元素的最大值為負數，所以最大值為當前-1
-2,-1,-3 以-3結尾的最大和為-3，前2個元素+i元素的最大值為-3，相比較當前值-3，最大值就是-3
-2,-1,-3,4 以4結尾的最大和為4，前3個元素的最大和-3為負數，但沒第4個元素，所以最大的和為4
-2,-1,-3,4,-1 以-1結尾的最大和為3，前4個元素的最大和為4，所以加上當前值能變大，最大和為3
-2,-1,-3,4,-1,2 以2結尾的最大和為5，前5個元素的最大和為3，所以加上當前值能變大，最大和為5
-2,-1,-3,4,-1,2,1 以1結尾的最大和為1，前6個元素的最大和為5，加上當前值為6，
-2,-1,-3,4,-1,2,1,-5 以-5結尾的最大和1，前7個元素的最大和為1，大於0，所以加上當前元素能變大，最大和為1

統計出所有以第i個元素結尾的最大和為

可以看出當以1結尾時，可以獲得最大和的子陣列，值為6

明顯的，因為我們考慮的子陣列以nums[i]結尾，那麼該陣列一定是包含nums[i]這個元素的，因此需要考慮兩種情況：即nums[i]單獨成為一段還是與前面的dp[i-1]一起構成子陣列，因此，可以得到如下的遞推關係式：

dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])

或者說：
dp[i-1]代表著前i-1個元素組成的子陣列的最大和，那麼加上第i個元素時就有兩種情況：

1. 第i個元素 大於 dp[i-1]+arr[i]，那麼前i個元素的最大值為第i個元素的值
2. 第i個元素 小於 dp[i-1]+arr[i]，那麼前i個元素的最大值為前i-1個元素的值 + 第i個元素

dp[i] = max{arr[i], dp[i-1]+arr[i]}

python程式碼

input_list = [-2,-1,-3,4,-1,2,1,-5]
length = len(input_list)
dp = [0] * length

# 邊界值，如果只有一個元素，則第一個元素的最大值就是自身
dp[0] = input_list[0]

for i in range(1,len(input_list)):
    # if dp[i-1] + input_list[i] > input_list[i] ---> dp[i-1] > 0。或許前一種寫法更容易理解
    if dp[i-1] > 0:
        # 如果前i-1個元素的最大值大於0，那麼加上當前就能使得以當前值為結尾的最大和變大
        dp[i] = dp[i-1] + input_list[i]
    else:
        # 如果前i-1個元素的最大值小於0，那麼加上當前就能使得以當前值為結尾的最大和變小。以當前值為結尾的最大和就是自身組成的陣列
        dp[i] = input_list[i]

print(dp)
print(max(dp))

又可以寫成：

input_list = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]

length = len(input_list)

# 構建一個dp陣列，用來儲存以第i個元素為結尾的最大子陣列之和
dp = [0] * length
# 邊界值，如果只有一個元素，則第一個元素的最大值就是自身
dp[0] = input_list[0]

for i in range(1,length):
    # 迴圈陣列，比較前i-1個數組最大值+自身 和自身的大小。
    # 如果大則表明前i-1個數組是正數，則可以繼續加上第i個
    # 如果小則表明前i-1個數組是負數，那麼相加肯定更小，所以以自身為新起點繼續往下走
    dp[i] = max(dp[i-1]+input_list[i],input_list[i])
    
print(max(dp))
     

小結

最長連續子序的解法精華在於 維護了一個dp陣列，該陣列中的每一個元素都代表著前i-1個元素能夠組成的最大值，只需要比較前i-1個元素+第i個元素的值與第i個元素的值的大小，就能得到第前i個元素能夠組成的子陣列的最大值。