「學習筆記 - 動態規劃」拆塊最大子段和
Background
最大子段和是最經典的 dp 問題了，但是最近書蟲發現了最大子段和的另一個拓展演算法 —— 拆塊最大子段和。
拆塊最大子段和可以用兩步，書蟲將其命名為：
- 拆開
- 組合
接下來我們將用一些例子來講解這個演算法。
Sample 0 P1115 最大子段和
Description
給定一個長度為 \(n\) 的序列 \(a_i\)，求出一段使得這一段的和最大。
\(1 \le n \le 2 \times 10^5\)，\(|a_i| \le 10^4\)。
Solution
最大子段和板子，考慮 dp，定義 \(dp[i]\) 為 \([1,i]\) 之間的最大子段和，那麼對於第 \(i\)
注：下文中 \(\max\limits_{i \in [l,r]}[a[i]]\) 代表 \(a[l]\) 到 \(a[r]\) 的最大子段和。
Sample 1 P2545 [AHOI2004]實驗基地
Step 1：Link。
Step 2：Link Step 1 的加強版，想投主題庫沒過（
Description
給定一個 \(2 \times n\) 的矩陣，第 \(i\) 行第 \(j\)
列的數為 \(a_{i,j}\)。求一個凹形塊使得凹形塊裡的數字和最大。
凹形塊定義為一個 \(2 \times w_1\) 的矩形，其中 \(3 \le w_1 \le n\)，然後在第一行把一塊 \(1 \times w_2\) 的矩形挖掉，其中 \(1 \le w_2 \le n-2\)，要保證挖掉之後第一行左右都有殘留的部分。
Step 1：\(n \le 3000\)。
Step 2：\(n \le 5 \times 10^6\)。
Solution for Step 1
凹形塊就是類似下面這個圖形：
---++---+++-
---++++++++-
我們嘗試 拆開，也就是拆塊最大子段和的第一步：
---++ --- +++-
---++ +++ +++-
如果我們不考慮第二步 組合，那麼可以用一個 \(\mathcal O(n^2)\) 的做法完成。
拆成的三部分中間的部分是列舉的部分，假設他為 \([l,r]\)，那麼答案可以由三部分組成：
- 左邊的是 \(\max\limits_{i \in [1,l-1]}[a[i][1]+a[i][2]]\)。
- 中間是 \(\displaystyle \sum\limits_{i=l}^r a[i][2]\)。
- 右邊的是 \(\max\limits_{i \in [r+1,n]}[a[i][1]+a[i][2]]\)。
因此，我們只需要列舉中間的區間 \([l,r]\) 即可，時間複雜度 \(\mathcal O(n^2)\)。
這個演算法可以輕鬆通過 Step 1。
Solution for Step 2
\(\mathcal O(n^2)\) 會炸掉，我們需要 \(\mathcal O(n)\)。
我們發現上一個 Solution 僅僅是 拆開，沒有 組合。
所以我們將這個凹形塊重新拆開，省去左右的空白：
++ --- +++
++ +++ +++
拆開後，我們將其一一組合，發現有三種組合方式：
- 左，將其稱為單獨塊，定義 \(dp[i][1]\) 為 \(\max\limits_{k \in [1,i]}[a[k][1]+a[k][2]]\)。
- 左 + 中，將其稱為 L 形塊，定義 \(dp[i][2]\) 為 \([1,i]\) 中的最大 L 形塊。
- 左 + 中 + 右，即為凹形塊，定義 \(dp[i][3]\) 為 \([1,i]\) 中的最大凹形塊。
不難發現，這三塊可以同時計算：
- 左的單獨塊就是普通的最大子段和。
- 左 + 中的 L 形塊可以是從左的單獨塊接上一個 \(a[i][2]\) 或者左 + 中的 L 形塊接上一個 \(a[i][2]\)，即為：
- 左 + 中 + 右的凹形塊可以是從左 + 中的 L 形塊接上一個 \(a[i][1]+a[i][2]\) 或者左 + 中 + 右的凹形塊接上一個 \(a[i][1]+a[i][2]\)，即為：
我們就可以 \(\mathcal O(n)\) 計算了，回顧本題，我們將其 拆開 為三塊，然後 組合 計算，很容易就完成了拆塊最大子段和。
是不是還挺簡單的？
Practice 1 P7160 「dWoi R1」Sixth Monokuma's Son
這題將不會詳細的講述如何 拆開 和 組合，而是將直接講述 拆開 和 組合 的結果。
Description
給定一個 \(n \times m\) 的矩陣，第 \(i\) 行第 \(j\) 列的數為 \(a[i][j]\)。
求一個矩形環使得環裡的數之和最大。
矩形環定義為一個 \(n \times w_1\) 的矩陣，其中 \(3 \le w_1 \le m\)，然後在中間選取一個 \((n-2) \times w_2\) 的矩陣挖掉，第一行和最後一行要保留，其中 \(1 \le w_2 \le (m-2)\)，且挖掉這個矩陣之後上下左右都要有保留的部分。
Step 1：\(n \le 10\)，\(m \le 1000\)。
Step 2：\(n \le 10\)，\(m \le 10^5\)。
Solution for Step 1
一個矩陣環即為：
---+++++--
---+--++--
---+--++--
---+++++--
拆開 結果如下所示：
---+ ++ ++--
---+ -- ++--
---+ -- ++--
---+ ++ ++--
我們還是列舉中間的 \([l,r]\)，然後左右算最大子段和。
\(\mathcal O(n^2)\)，期望得分 \(50\)。
Solution for Step 2
重新 拆開：
+ ++ ++
+ -- ++
+ -- ++
+ ++ ++
然後 組合 為三部分：
- 左的單獨塊。
- 左 + 中的 C 形塊。
- 左 + 中 + 右的矩形環。
具體細節請讀者自行完善，可以做到 \(\mathcal O(m)\)（輸入省略）。